Segno Funzione Valore Assoluto
Ciao ragazzi, sto studiando la seguente funzione: \(\displaystyle log(e^{-x}+|x|)-1 \) . Mi sono ricavato il dominio, \(\displaystyle f(0) \)e i limiti. Giunto al segno mi sorge un dubbio sulla correttezza del procedimento che ho seguito.
Ho imposto che :
\(\displaystyle log(e^{-x}+|x|)>1 \) ,
\(\displaystyle e^{-x} + |x|>e \),
\(\displaystyle \frac{1}{e^x} + |x|>e \);
\(\displaystyle 1+e^x |x|> e^{x+1} \),
\(\displaystyle e^{x} |x|-e^{x+1} >-1\),
\(\displaystyle e^x (|x|-e)>-1 \).
Ora, \(\displaystyle e^x>-1 \) è sempre verificata, mi rimane da studiare \(\displaystyle |x|-e>-1 \). Arrivato a questo, divido i due casi: a) \(\displaystyle x>=0 \) \(\displaystyle x>e-1 \)
b) \(\displaystyle x<0 \) \(\displaystyle x<1-e \) . Quindi la funzione sarà positiva se \(\displaystyle x<1-e \) ed \(\displaystyle x>e-1 \), è corretto?
grazie mille e scusate la lunghezza del testo.
Ho imposto che :
\(\displaystyle log(e^{-x}+|x|)>1 \) ,
\(\displaystyle e^{-x} + |x|>e \),
\(\displaystyle \frac{1}{e^x} + |x|>e \);
\(\displaystyle 1+e^x |x|> e^{x+1} \),
\(\displaystyle e^{x} |x|-e^{x+1} >-1\),
\(\displaystyle e^x (|x|-e)>-1 \).
Ora, \(\displaystyle e^x>-1 \) è sempre verificata, mi rimane da studiare \(\displaystyle |x|-e>-1 \). Arrivato a questo, divido i due casi: a) \(\displaystyle x>=0 \) \(\displaystyle x>e-1 \)
b) \(\displaystyle x<0 \) \(\displaystyle x<1-e \) . Quindi la funzione sarà positiva se \(\displaystyle x<1-e \) ed \(\displaystyle x>e-1 \), è corretto?
grazie mille e scusate la lunghezza del testo.
Risposte
La tua conclusione è (in parte) che per \( x > e -1 \) è verificata la disuguaglianza \( e^{x} \left( \lvert x \rvert - e \right) > -1 \) e, di conseguenza è verificata la disuguaglianza \( \ln \left( e^{-x} + \lvert x \rvert \right) > 1 \): prova allora a fare i conti con, per esempio, \( x = 1.8 \).
Ovviamente non è che devi andare a caso: hai commesso un preciso errore proprio alla fine, posto che, almeno io, fin da subito avrei risolto \( e^{-x} + \lvert x \rvert > e \) per via grafica andandomi a trovare le ascisse delle intersezioni con qualche metodo di approssimazione (se proprio ci tieni: altrimenti puoi limitarti a dire che per \( x \) in un certo intervallo c'è la prima intersezione e per \( x \) in un altro certo intervallo c'è la seconda intersezione).
Il mio suggerimento è di iniziare a capire qual è l'errore che hai commesso, così non lo commetti più; dopo passi a considerare come risolvere la tua disequazione.
Ovviamente non è che devi andare a caso: hai commesso un preciso errore proprio alla fine, posto che, almeno io, fin da subito avrei risolto \( e^{-x} + \lvert x \rvert > e \) per via grafica andandomi a trovare le ascisse delle intersezioni con qualche metodo di approssimazione (se proprio ci tieni: altrimenti puoi limitarti a dire che per \( x \) in un certo intervallo c'è la prima intersezione e per \( x \) in un altro certo intervallo c'è la seconda intersezione).
Il mio suggerimento è di iniziare a capire qual è l'errore che hai commesso, così non lo commetti più; dopo passi a considerare come risolvere la tua disequazione.
Ho fatto un errore nel dividere i due casi o come li ho trattati?
No. Non è quello l'errore.
L'errore sta nel seguente passaggio: dopo essere giunto a \( e^{x} \left( \lvert x \rvert - e \right) > -1 \), sei passato a \( e^{x} > -1 \) e \( \lvert x \rvert - e > -1 \). È questo il passaggio sbagliato.
Tu lo hai compiuto perché ricordi che al liceo giunto a una disequazione del tipo \( \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) > 0 \) il passaggio successivo era porre \( x - 2 > 0 \) e \( x + 3 > 0 \) e poi studiare le due disequazioni moltiplicandone i segni. Tu hai fatto lo stesso passaggio con \( e^{x} \) al posto di \( x - 2 \), \( \lvert x \rvert - e \) al posto di \( x + 3 \) e \( -1 \) al posto di \( 0 \), solo che non puoi perché questo passaggio non serve per stabilire quando uno dei fattori di sinistra è maggiore del numero di destra ma serve a stabilire quando i fattori sono concordi (entrambi positivi o entrambi negativi) o discordi (uno positivo e l'altro negativo) e questa cosa si stabilisce proprio con il confronto con lo \( 0 \). Il confronto con \( -1 \) (o chi per esso) non serve: se infatti prendi per esempio \( 4 > -1 \) e \( -0.5 > -1\) ottieni \( 4 \cdot \left( -0.5 \right) = -2 < -1 \).
L'errore sta nel seguente passaggio: dopo essere giunto a \( e^{x} \left( \lvert x \rvert - e \right) > -1 \), sei passato a \( e^{x} > -1 \) e \( \lvert x \rvert - e > -1 \). È questo il passaggio sbagliato.
Tu lo hai compiuto perché ricordi che al liceo giunto a una disequazione del tipo \( \left( x - 2 \right) \left( x + 3 \right) > 0 \) il passaggio successivo era porre \( x - 2 > 0 \) e \( x + 3 > 0 \) e poi studiare le due disequazioni moltiplicandone i segni. Tu hai fatto lo stesso passaggio con \( e^{x} \) al posto di \( x - 2 \), \( \lvert x \rvert - e \) al posto di \( x + 3 \) e \( -1 \) al posto di \( 0 \), solo che non puoi perché questo passaggio non serve per stabilire quando uno dei fattori di sinistra è maggiore del numero di destra ma serve a stabilire quando i fattori sono concordi (entrambi positivi o entrambi negativi) o discordi (uno positivo e l'altro negativo) e questa cosa si stabilisce proprio con il confronto con lo \( 0 \). Il confronto con \( -1 \) (o chi per esso) non serve: se infatti prendi per esempio \( 4 > -1 \) e \( -0.5 > -1\) ottieni \( 4 \cdot \left( -0.5 \right) = -2 < -1 \).
Ok, ho capito. Tuttavia anche se dovessi imporre la condizione iniziale e studiare i casi per \(\displaystyle x>=0 \) e \(\displaystyle x<0 \) l'equazione da studiare sarebbe lo stesso ostica. Posso magari studiare il segno più avanti, cioè anticipo lo studio della derivata prima con massimi e minimi e valutare poi il segno? Dico questo perché il professore in alcuni casi d'esame, lo studio del segno lo salta e questo non riesco a capirlo.
Qualcuno che sappia un metodo per risolvere il segno della funzione scritta precedentemente ? grazie mille 
Riprendo il vecchio messaggio.
L'errore che commettevi ti è stato fatto notare, e immagino che tu lo abbia corretto.
io ripartirei da qui per fare i due casi aiutandomi anche con il grafico.
$f(x)={[log(e^(-x)-x)-1," if "x<0], [log(e^(-x)+x)-1," if "x>=0] :}$
studio i due casi nella forma dell'ultimo passaggio riportato del primo messaggio:
${[x<0], [e^(-x)-x-e>0] :} vv {[x>=0], [e^(-x)+x-e>0] :}$
Considero la funzione $g(x)=e^(-x)-x-e$ per $x in (-oo, 0)$ che è in tale intervallo strettamente decrescente in quanto $g'(x)= -e^(-x)-1<0$
e la funzione $h(x)=e^(-x)+x-e$ per $x in [0, +oo)$ che è in tale intervallo strettamente crescente in quanto $h'(x)=-e^(-x)+1>0 AA x>0$.
Con metodi grafici iterativi si possono trovare due radici approssimate: $x_1<0 " t.c. "e^(-x_1)-x_1-e=0$ e $x_2>0 " t.c. " e^(-x_2)+x_2-e=0$, e la soluzione della disequazione di partenza è esprimibile come $xx_2$.
è più chiaro? ce la fai a ripetere il procedimento e a trovare i due valori?
L'errore che commettevi ti è stato fatto notare, e immagino che tu lo abbia corretto.
"Dave95":
Ciao ragazzi, sto studiando la seguente funzione: \(\displaystyle log(e^{-x}+|x|)-1 \) . Mi sono ricavato il dominio, \(\displaystyle f(0) \)e i limiti. Giunto al segno mi sorge un dubbio sulla correttezza del procedimento che ho seguito.
Ho imposto che :
\(\displaystyle log(e^{-x}+|x|)>1 \) ,
\(\displaystyle e^{-x} + |x|>e \)
io ripartirei da qui per fare i due casi aiutandomi anche con il grafico.
$f(x)={[log(e^(-x)-x)-1," if "x<0], [log(e^(-x)+x)-1," if "x>=0] :}$
studio i due casi nella forma dell'ultimo passaggio riportato del primo messaggio:
${[x<0], [e^(-x)-x-e>0] :} vv {[x>=0], [e^(-x)+x-e>0] :}$
Considero la funzione $g(x)=e^(-x)-x-e$ per $x in (-oo, 0)$ che è in tale intervallo strettamente decrescente in quanto $g'(x)= -e^(-x)-1<0$
e la funzione $h(x)=e^(-x)+x-e$ per $x in [0, +oo)$ che è in tale intervallo strettamente crescente in quanto $h'(x)=-e^(-x)+1>0 AA x>0$.
Con metodi grafici iterativi si possono trovare due radici approssimate: $x_1<0 " t.c. "e^(-x_1)-x_1-e=0$ e $x_2>0 " t.c. " e^(-x_2)+x_2-e=0$, e la soluzione della disequazione di partenza è esprimibile come $x
è più chiaro? ce la fai a ripetere il procedimento e a trovare i due valori?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo