Segno di una funzione

[HeroGian]

Salve a tutti, sto svolgendo un esercizio che richiede di determinare il segno della seguente funzione:

$f(x) = log(3x) + 4 / sqrt(x) $

Come primo passo ho trovato il dominio della funzione, che è il seguente sottoinsieme di R:

$ D = { x in RR | x > 0 } $

Come secondo passaggio devo porre la funzione maggiore di zero e trovare le soluzioni dell'equazione.. ho riscritto la funzione nel seguente modo:

$ f(x) = (sqrt(x)log(3x)+4)/(sqrt(x)) > 0 $

dato che il dominio è formato da tutti gli x > 0, il segno di questa funzione è determinata dal segno del numeratore, quindi:

$ sqrt(x)log(3x)+4 > 0 $

E qui mi sono bloccato, come posso procedere per risolvere questa disequazione?? grazie

[appa91]

Prova a scrivere $ log(3x) > -4/sqrt(x) $ e a studiarti separatamente le due funzioni. Disegni i due grafici e vedi quando sono maggiori...

[_prime_number]

Un modo che non passa per vie numeriche è il seguente:
considera a parte la funzione $g(x)=\log 3x + 4/\sqrt{x}$. Se studi la sua derivata noti che è negativa per $04$. $g(4)>0$ e inoltre $g$ tende a valori positivi per $x\to 0^+$ e $x\to +\infty$, quindi significa che $g(x)>0$ per ogni $x>0$.

Paola