Segno di un integrale
Ciao a tutti qualcuno può aiutarmi a dimostrare che \[ \int_0^\frac{3 \pi\ }{2}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx > 0\]
In effetti riesco a dimostrare che tale integrale è > 0 nell'intervallo (0; pi) considerando la somma dell'integrale nei due intervalli (0, pi/2) e (pi/2;pi) e poi trasformando questo secondo integrale in un integrale esteso a (0;pi/2) tramite la sostituzione t=pi-x. Si ottiene così un integrale in cui l'integrando è > 0 in (0;pi/2) ed è quindi >0. Ma non so come fare nel caso (0;3pi/2)
Grazie
In effetti riesco a dimostrare che tale integrale è > 0 nell'intervallo (0; pi) considerando la somma dell'integrale nei due intervalli (0, pi/2) e (pi/2;pi) e poi trasformando questo secondo integrale in un integrale esteso a (0;pi/2) tramite la sostituzione t=pi-x. Si ottiene così un integrale in cui l'integrando è > 0 in (0;pi/2) ed è quindi >0. Ma non so come fare nel caso (0;3pi/2)
Grazie
Risposte
Io proverei a minorare in questo modo:
\[
I \geq \int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} dx
\geq \frac{\sqrt{2}}{2} \int_0^{\pi/4} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx.
\]
\[
I \geq \int_0^{\pi/4} \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} dx + \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} dx
\geq \frac{\sqrt{2}}{2} \int_0^{\pi/4} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx.
\]
Grazie mille ho fatto i calcoli per bene con pi/4, con pi/8 e con altri valori ma mi trovo alla fine sempre un valore < 0
Ho risolto così:
\[ \int_0^\frac{3 \pi\ }{2}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx = \int_0^\frac{\pi\ }{2}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx + \int_\frac{\pi\ }{2}^ \pi\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx + \int_\pi\ ^\frac{3 \pi\ }{2}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx > \]
\[ > \int_0^\frac{\pi\ }{4}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx - \int_0^\frac{\pi\ }{4}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{\pi\ - x}\ }\ dx + \int_\pi\ ^\frac{3 \pi\ }{2}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx \]
Poi minorando come proposto da Rigel si arriva a \[ I > 0.04 \sqrt{\pi\ }> 0 \]
\[ \int_0^\frac{3 \pi\ }{2}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx = \int_0^\frac{\pi\ }{2}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx + \int_\frac{\pi\ }{2}^ \pi\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx + \int_\pi\ ^\frac{3 \pi\ }{2}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx > \]
\[ > \int_0^\frac{\pi\ }{4}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx - \int_0^\frac{\pi\ }{4}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{\pi\ - x}\ }\ dx + \int_\pi\ ^\frac{3 \pi\ }{2}\ \frac{cos x}{2 \sqrt{x}\ }\ dx \]
Poi minorando come proposto da Rigel si arriva a \[ I > 0.04 \sqrt{\pi\ }> 0 \]
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