Segni limiti di logaritmi ed esponenziali
Ciao a tutti,
Vi scrivo per chiedervi un chiarimento su un paio di segni nel calcolo di limiti di logaritmi ed esponenziali.
Ho fatto lo stesso tipo di errore in due esercizi distinti, ma non capisco perché.
Il primo esercizio è:
$ lim_(x -> 2^+) 3^(x^2/(x-2)) + x/(2-log_2(2x)) $
Ad un certo punto arrivo a $ 3^(4^+/0^+)+2^+/(2-2^+) $ , che coincide con il procedimento descritto nell'esercizio svolto.
Poi però io considero $ 3^(+infty)+2^+/(0^+) $ , che è diverso dal procedimento dell'esercizio, ossia: $ 3^(+infty)+2^+/(0^-) $
La mia domanda è: a che cosa è dovuto quel cambio di segno a denominatore?
Il secondo esercizio è:
$ lim_(x -> 1^-) (x+3)/(2x-2)-1/(1-e^(4x-4)) $
Arrivo a $ -infty-1/(1-1^-) $ e fin qui tutto ok.
Poi io risolvo come $ -infty-1/(0^-) $ , mentre invece l'esercizio svolto porta a: $ -infty-1/(0^+) $
Anche qui: perché cambia il segno? È dovuto al fatto che davanti a $ 2^+ $ e $ 1^- $ c'è il segno meno, oppure è una qualche proprietà di logaritmi ed esponenziali che mi sfugge... O un altro motivo ancora?
Grazie in anticipo a chi risponderà
Vi scrivo per chiedervi un chiarimento su un paio di segni nel calcolo di limiti di logaritmi ed esponenziali.
Ho fatto lo stesso tipo di errore in due esercizi distinti, ma non capisco perché.
Il primo esercizio è:
$ lim_(x -> 2^+) 3^(x^2/(x-2)) + x/(2-log_2(2x)) $
Ad un certo punto arrivo a $ 3^(4^+/0^+)+2^+/(2-2^+) $ , che coincide con il procedimento descritto nell'esercizio svolto.
Poi però io considero $ 3^(+infty)+2^+/(0^+) $ , che è diverso dal procedimento dell'esercizio, ossia: $ 3^(+infty)+2^+/(0^-) $
La mia domanda è: a che cosa è dovuto quel cambio di segno a denominatore?
Il secondo esercizio è:
$ lim_(x -> 1^-) (x+3)/(2x-2)-1/(1-e^(4x-4)) $
Arrivo a $ -infty-1/(1-1^-) $ e fin qui tutto ok.
Poi io risolvo come $ -infty-1/(0^-) $ , mentre invece l'esercizio svolto porta a: $ -infty-1/(0^+) $
Anche qui: perché cambia il segno? È dovuto al fatto che davanti a $ 2^+ $ e $ 1^- $ c'è il segno meno, oppure è una qualche proprietà di logaritmi ed esponenziali che mi sfugge... O un altro motivo ancora?
Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
Per questo tipo di approcci è utile disegnarsi la retta reale e aver ben capito il simbolismo usato: "$2^+$" significa "$2$ da destra", perciò se rappresenti $2$ sulla retta reale ti renderai conto che "$2^+>2$.
Pertanto $2-2^+=0^-$.
Stessa cosa per l'altro esercizio: "$1^-$" è "poco meno di uno" perché sarebbe "$1$ da sinistra", perciò $1^{-} < 1$ e dunque $1-1^{-}=0^+$.
Pertanto $2-2^+=0^-$.
Stessa cosa per l'altro esercizio: "$1^-$" è "poco meno di uno" perché sarebbe "$1$ da sinistra", perciò $1^{-} < 1$ e dunque $1-1^{-}=0^+$.
Ahn ho capito, grazie mille!
Quindi non c'entra nulla il fatto che derivi da un calcolo su un logaritmo ed esponenziale ma è valido ogniqualvolta mi si presenti una situazione del genere, giusto?
Quindi non c'entra nulla il fatto che derivi da un calcolo su un logaritmo ed esponenziale ma è valido ogniqualvolta mi si presenti una situazione del genere, giusto?
Dipende che intendi! La parte sulla retta reale che ti ho detto sì, per capire bene quale risultato avrai algebricamente.
In realtà la situazione è un po' delicata: le funzione esponenziale in base $e$ e logaritmo naturale sono funzioni monotòne crescenti, perciò mantengono l'ordine.
Quindi se fai il logaritmo naturale di una quantità "da destra" essa rimarrà "da destra", mentre se le funzioni sono monotòne decrescenti si inverte.
Un esempio concreto:
$$\lim_{x \to 2^+} x^2=4^+$$
$$\lim_{x \to 2^-} x^2=4^-$$
Questo $x \mapsto x^2$ è una funzione crescente per $x\leq0$; invece
$$\lim_{x\ \to (-2)^+} x^2 = 4^-$$
$$\lim_{x \to (-2)^-} x^2 = 4^+$$
Come vedi si inverte tutto, perché $x \mapsto x^2$ è una funzione decrescente per $x<0$.
Quindi diciamo che, se non ti era noto questo discorso, sei stato fortunato perché tutte le funzioni in gioco preservavano l'ordine; altrimenti sì, devi fare delle considerazioni in base alla monotonia della funzione per non incappare in errori grossolani.
In realtà la situazione è un po' delicata: le funzione esponenziale in base $e$ e logaritmo naturale sono funzioni monotòne crescenti, perciò mantengono l'ordine.
Quindi se fai il logaritmo naturale di una quantità "da destra" essa rimarrà "da destra", mentre se le funzioni sono monotòne decrescenti si inverte.
Un esempio concreto:
$$\lim_{x \to 2^+} x^2=4^+$$
$$\lim_{x \to 2^-} x^2=4^-$$
Questo $x \mapsto x^2$ è una funzione crescente per $x\leq0$; invece
$$\lim_{x\ \to (-2)^+} x^2 = 4^-$$
$$\lim_{x \to (-2)^-} x^2 = 4^+$$
Come vedi si inverte tutto, perché $x \mapsto x^2$ è una funzione decrescente per $x<0$.
Quindi diciamo che, se non ti era noto questo discorso, sei stato fortunato perché tutte le funzioni in gioco preservavano l'ordine; altrimenti sì, devi fare delle considerazioni in base alla monotonia della funzione per non incappare in errori grossolani.
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