Seconda parte del teorema di Cauchy

[fra017]

stavo facendo il criterio di cauchy per le successioni ma non ho capito la dimostrazione della seconda proposizione: se $a_n$ è una successione di cauchy allora converge. qualcuno puoi rispiegarmi la dimostrazione? vi ringrazioi in anticipo

[Lorin1]

Ogni successione convergente è di Cauchy (condizione necessaria)

Quella che dici tu sarebbe la condizione sufficiente, che in generale non vale, a meno che non fai delle ipotesi sull'ambiente di lavoro in cui ti trovi (ad esempio gli spazi metrici completi)

[gugo82]

@Lorin: Credo che fra01 stia studiando per Analisi I, quindi le successioni sono reali (e non a valori in spazi "strani").

@fra01: Cosa c'è che non capisci nella dimostrazione?

[Lorin1]

Si lo immaginavo, ma mi sembrava strano che stesse dimostrando a condizione sufficiente, anche perchè di solito si fornisce il controesempio per dire che in generale non vale.

[regim]

A
Prima dimostri in generale che in uno spazio metrico compatto una successione di cauchy converge, quindi, in uno spazio euclideo, dal momento che una successione di cauchy è limitata, esisterà un compatto che la contiene, e limitando lo spazio metrico a quell'insieme avrai una successione di cauchy in un compatto che, come sopra, convergerà. il problema si trasla nel dimostrare il tutto in un compatto.

B
Cominci quindi col vedere che una successione è di cauchy anche quando il limite del diametro dell'insieme dei termini a partire da un certo $N$ in poi tende a zero al tendere di $N$ all'infinito, se consideri allora la chiusura di questi insiemi, essi sono compatti a loro volta perchè inclusi in un compatto, e hanno inoltre la proprietà di essere inclusi uno nell'altro, come scatole cinesi, e l'intersezione di un numero finito qualunque di essi non è mai vuota, ergo l'intersezione di tutti non sarà vuota, ma siccome il diametro tende a zero(il diametro della chiusura di un insieme è uguale a quello dell'insieme stesso), non può che contenere un sol punto. Lo assumiamo come limite, per ipotesi, e ci accorgiamo che effettivamente lo è, perchè essendo contenuto in tutti gli insiemi di cui sopra, per ogni $epsilon >0$, definitivamente, i punti disteranno tra loro, e quindi da quel punto, una quantità minore di $epsilon$.

Questa dimostrazione è valida in generale per i compatti, gli spazi euclidei sono un caso particolare, poi naturalmente ce ne sarà qualcun'altra più ad hoc per gli spazi euclidei, ma al momento non mi viene.

[fra017]

faccio analisi 1 e non ho idea di cosa sia lo spazio metrico XD
il mio libro articola la dimostrazione in 2 proposizioni: la prima proposizione è ogni successione convergente è di cauchy. e quella ho solo un piccolo dubbio che vi chiedo subito. $a_n$ e $a_h$ sono due successioni con $h,k>\epsilon$ e applica la disuguaglianza triangolare:
$|a_k - a_h| \leq |a_k - a| + |a - a_h| < \epsilon/2 +\epsilon/2=\epsilon$ non ho capito la disugualianza, cioè come fa a "raggruppare" le epsilon mezzi se fanno parte di due disuguaglianza distinte?

[regim]

Implicitamente stai usando una metrica, la disuaglianza è detta triangolare, leggiti cos'è uno spazio metrico, ti garantisco che non è un gran sforzo. ciao

[fra017]

si ma ok la disuguaglianza ma in questo caso se ho una somma tra due moduli e ognuno di quei moduli è minore di qualcosa quei due "qualcosa" li sommo?

[Fox4]

se ho capito cosa ti turba devi solo rifletterci un attimo...

Tu hai due moduli entrambi minori di un dato valore, la loro somma sarà minore della somma dei due valori limitanti.
Se io ho meno di 3 mele e tu hai meno di 3 mele, in due abbiamo meno di 6 mele!!!

Penso che tu fossi fuso quando hai scritto... a volte una pausa aiuta!!

[fra017]

ahahah okok...un'altra cosa, nel lemma 1 dice una successione di cauchy è limitata. pone $\epsilon=1$ e per ipotesi esiste un indice $\nu \in N: |a_k - a_h|<1$ dopo fissa un ulteriore indice $a_h_0>\nu: a_h_0 -1

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[fra017]

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