Sea water PDE: algoritmi risolutivi.
Ciao a tutti volevo chiedere se qualcuno potesse spiegarmi PASSO PASSO come risolvere la seguente equazione e come classificarla con spiegazione relativa. Grazie.
Maggiori informazioni @ http://stommel.tamu.edu/~baum/reid/book1/book/node66.html
\(\displaystyle
\begin{equation*}
\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}dT+\frac{\partial \rho}{\partial S}dS+\frac{\partial \rho}{\partial p}dp\right)=-\rho\left(\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial T}dT+\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial S}dS+\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial p}dp\right)
\end{equation*}
\)
Quindi
\(\displaystyle
\begin{equation*}
\rho=-2\left(\int\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial T}\rho\,\,\mathrm{d}T+\int\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial S}\rho\,\,\mathrm{d}S+\int\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial p}\rho\,\,\mathrm{d}p\right)
\end{equation*}
\)
giusto?
Maggiori informazioni @ http://stommel.tamu.edu/~baum/reid/book1/book/node66.html
\(\displaystyle
\begin{equation*}
\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}dT+\frac{\partial \rho}{\partial S}dS+\frac{\partial \rho}{\partial p}dp\right)=-\rho\left(\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial T}dT+\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial S}dS+\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial p}dp\right)
\end{equation*}
\)
Quindi
\(\displaystyle
\begin{equation*}
\rho=-2\left(\int\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial T}\rho\,\,\mathrm{d}T+\int\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial S}\rho\,\,\mathrm{d}S+\int\frac{\partial \rho^{-1}}{\partial p}\rho\,\,\mathrm{d}p\right)
\end{equation*}
\)
giusto?
Risposte
Perché sei sicuro che l'equazione possa essere risolta esplicitamente?
"gugo82":
Perché sei sicuro che l'equazione possa essere risolta esplicitamente?
Grazie per la risposta. lol Non ne sono sicuro, è che ne sò veramente poco su queste, io sono fermo alle equazioni differenziali a variabili separabili al massimo, lineari e di primo ordine. Quindi già mi insegni che le PDE in generale non sempre possono essere risolte analiticamente (!?) cioè trovare la formula esplicita di una funzione che soddisfi l'uguaglianza? (già lo sapevo ma non in modo formale diciamo). Quindi quando mi trovo davanti una cosa del genere come faccio a sapere se è risolvibile analiticamente, come faccio a classificarla, come faccio a risolverla, numericamente si dice (sempre che non lo sia analiticamente)?
P.S. Sono giuste le mie manipolazioni?
"repez":
[quote="gugo82"]Perché sei sicuro che l'equazione possa essere risolta esplicitamente?
Grazie per la risposta. lol Non ne sono sicuro, è che ne sò veramente poco su queste, io sono fermo alle equazioni differenziali a variabili separabili al massimo, lineari e di primo ordine.[/quote]
Un po' povero come background. Ingegnere?
(Spero... Perché se fossi un Matematico, il tuo corso di laurea sarebbe davvero messo male.)
"repez":
Quindi già mi insegni che le PDE in generale non sempre possono essere risolte analiticamente (!?) cioè trovare la formula esplicita di una funzione che soddisfi l'uguaglianza? (già lo sapevo ma non in modo formale diciamo).
E già.
Proprio per questo motivo, uno dei filoni importanti nella ricerca sulle PDE consiste nel mostrare come sia possibile ricavare proprietà qualitative delle soluzioni a partire dall'equazione stessa.
"repez":
Quindi quando mi trovo davanti una cosa del genere come faccio a sapere se è risolvibile analiticamente,
Che vuol dire per te "risolvere analiticamente"?
Se intendi "determinare esplicitamente un integrale in forma chiusa" (i.e., fare i conti a mano), beh, in generale stai fresco!...
Se intendi "stabilire che esiste una soluzione (che soddisfa certe condizioni), anche senza determinarla esplicitamente", allora già la cosa è più fattibile.
Ma comunque, non c'è un metodo generale per stabilire queste cose. Anzi, il campo delle PDE è molto tecnico, perché ci sono un'infinità di tecniche, ognuna che funziona con certi tipi di equazione e con altri no.
Tuttavia, esistono teoremi che assicurano l'esistenza e teoremi che assicurano l'unicità delle soluzioni e che hanno campi di applicabilità sufficientemente vasti (all'interno di una "stessa tipologia" di equazione).
"repez":
come faccio a classificarla
Dipende dalla PDE... In generale, per le PDE del primo ordine, la cosa è abbastanza banale (i casi sono tre, grossomodo: equazione lineare, semilineare e nonlineare); mentre, per le PDE del secondo ordine, la caratterizzazione dipende dalla cosiddetta "parte principale" dell'equazione, i.e. dall'operatore che agisce sulle derivate seconde.
Per una panoramica abbastanza completa su queste faccende, ti consiglio il libro di Evans
"repez":
come faccio a risolverla numericamente si dice (sempre che non lo sia analiticamente)?
Eh, come se fosse semplice...
Innanzitutto, una PDE, così come una ODE, ha bisogno di opportune condizioni al contorno per essere risolta (sia analiticamente che numericamente).
Una volta associate alla PDE le condizioni utili, hai bisogno almeno di un teorema di unicità delle soluzioni; poi, devi discretizzare bene il problema e sperare in Dio che il calcolatore riesca a darti un output decente.
Libri in questa direzione ce ne sono moltissimi. Tra i tanti, prova quelli di Quarteroni.
"repez":
P.S. Sono giuste le mie manipolazioni?
A occhio, direi di no.
"gugo82":
[quote="repez"][quote="gugo82"]Perché sei sicuro che l'equazione possa essere risolta esplicitamente?
Grazie per la risposta. lol Non ne sono sicuro, è che ne sò veramente poco su queste, io sono fermo alle equazioni differenziali a variabili separabili al massimo, lineari e di primo ordine.[/quote]
Un po' povero come background. Ingegnere?
(Spero... Perché se fossi un Matematico, il tuo corso di laurea sarebbe davvero messo male.)
"repez":
Quindi già mi insegni che le PDE in generale non sempre possono essere risolte analiticamente (!?) cioè trovare la formula esplicita di una funzione che soddisfi l'uguaglianza? (già lo sapevo ma non in modo formale diciamo).
E già.
Proprio per questo motivo, uno dei filoni importanti nella ricerca sulle PDE consiste nel mostrare come sia possibile ricavare proprietà qualitative delle soluzioni a partire dall'equazione stessa.
"repez":
Quindi quando mi trovo davanti una cosa del genere come faccio a sapere se è risolvibile analiticamente,
Che vuol dire per te "risolvere analiticamente"?
Se intendi "determinare esplicitamente un integrale in forma chiusa" (i.e., fare i conti a mano), beh, in generale stai fresco!...
Se intendi "stabilire che esiste una soluzione (che soddisfa certe condizioni), anche senza determinarla esplicitamente", allora già la cosa è più fattibile.
Ma comunque, non c'è un metodo generale per stabilire queste cose. Anzi, il campo delle PDE è molto tecnico, perché ci sono un'infinità di tecniche, ognuna che funziona con certi tipi di equazione e con altri no.
Tuttavia, esistono teoremi che assicurano l'esistenza e teoremi che assicurano l'unicità delle soluzioni e che hanno campi di applicabilità sufficientemente vasti (all'interno di una "stessa tipologia" di equazione).
"repez":
come faccio a classificarla
Dipende dalla PDE... In generale, per le PDE del primo ordine, la cosa è abbastanza banale (i casi sono tre, grossomodo: equazione lineare, semilineare e nonlineare); mentre, per le PDE del secondo ordine, la caratterizzazione dipende dalla cosiddetta "parte principale" dell'equazione, i.e. dall'operatore che agisce sulle derivate seconde.
Per una panoramica abbastanza completa su queste faccende, ti consiglio il libro di Evans
"repez":
come faccio a risolverla numericamente si dice (sempre che non lo sia analiticamente)?
Eh, come se fosse semplice...
Innanzitutto, una PDE, così come una ODE, ha bisogno di opportune condizioni al contorno per essere risolta (sia analiticamente che numericamente).
Una volta associate alla PDE le condizioni utili, hai bisogno almeno di un teorema di unicità delle soluzioni; poi, devi discretizzare bene il problema e sperare in Dio che il calcolatore riesca a darti un output decente.
Libri in questa direzione ce ne sono moltissimi. Tra i tanti, prova quelli di Quarteroni.
"repez":
P.S. Sono giuste le mie manipolazioni?
A occhio, direi di no.[/quote]
Grazie mille per le spiegazioni. Se ho capito allora quella che ho postato è lineare perchè non vedo termini al quadrato giusto (però non mi spiego come possano esisterne di semilineare allora)? Ed è di primo ordine perchè il grado massimo di derivazione è il primo. Ma tutte le manipolazioni sono sbagliate? Ho provato a correggere e riguardare l'ultima. Lo sò che è povero come background e mi rode stare cosi indietro su queste cose ed è per questo che cerco di imparare qualcosa da me senza avere un corso e degli esami a scuola, comunque sono un Naturalista/Biologo. Io per analiticamente intendo esplicitare l'esatta formula della funzione che sostituita soddisfa l'uguaglianza, ma ti prego di correggere ogni mio abuso di terminologia matematica. Cosa è un integrale in forma chiusa? Risolvere numericamente significa risolvere l'equazione senza l'ottenimento di una formula esplicita di una funzione bensì di un numero, appunto, espresso in funzione di certe condizioni? Quindi in generale se mi trovo una qualsiasi PDE devo conoscere le condizioni di contorno (ad esempio il problema di Cauchy per le ODE?), i teoremi di unicità e di esistenza della/e soluzione/i, classificarla e poi provare ad agire in funzione delle condizioni testè citate?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo