Se \( y'+P(x)y = e^x \) con $y(0)=1$ allora $y<1$

[Paolo902]

Come al solito, sono in cerca di conferme...

Problema (Concorso di ammissione SISSA). Sia $P\in C^1(\RR, \RR)$ e tale che $P(x)>e^x$, per ogni $x\in[0,\infty)$ e sia $y(x)$ la soluzione del problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y'+P(x)y = e^x \\
y(0)=1
\end{cases}
\]
Mostrare che $y(x)<1$ per ogni $x>0$.

Che la soluzione sia prolungabile per tutti gli $x>0$ non v'è dubbio, essendo il problema lineare. Notiamo poi che \( y'(0)=-P(0)+e^0 < -e^0+e^0=0\) per l'ipotesi su \( P \). Per continuità (non è difficile convincersi che la soluzione è $C^1$, anzi addirittura $C^infty$) esiste un $\delta_1>0$ tale che \( y'(t)< 0 \) per ogni \( t \in (0,\delta_1) \) da cui $y(t)<1$ per ogni $t \in (0,\delta_1)$ (insomma, quello che voglio dire è che $y$ parte da $1$ decrescendo).

Per assurdo, supponiamo che \( A:= \{ t > 0: y(t)=1 \} \ne \emptyset \). Sia $\overline{t} = \min A$ (sicuramente c'è l'inf, visto che A è inferiormente limitato; che sia un min ho qualche dubbio ma penso che $A$ sia chiuso quindi...).

Allora per analoghi a sopra si ha che \(y'(\overline{t})<0\) e di nuovo per continuità esiste \(\delta_2>0\) tale che \(y'(t)<0\) per $t \in (\overline{t}-\delta_2, \overline{t}+delta_2)$: in particolare, $y(t)>1$ per $t \in (\overline{t}-delta_2, \overline{t})$.

Ma allora per il Teorema degli Zeri, deve esistere un $s \in (0, \overline{t}-\delta_2)$ tale che $y(s)=1$ e ciò contraddice la minimalità di $overline{t}$.

Ne segue che $y(t) \ne 1$ per ogni $t>0$, da cui la tesi.

Che dite? L'ho fatta troppo complicata? Mi sa di sì...
Grazie.

P.S. Ho trovato una soluzione in un vecchissimo topic di Valerio, ma non mi andava di riesumare una roba di sei anni fa per chiedere conferme sulla mia soluzione...

[Rigel1]

Non ho capito bene la seconda parte della dimostrazione (forse c'è qualche disuguaglianza scambiata).
In ogni caso l'esercizio è impostato correttamente; io avrei concluso così:
Dalle condizioni \(y(\bar{t}) = 1\) e \(y(t) < 1\) per \(t\in (0, \bar{t})\) ottieni che \(y'(\bar{t})\geq 0\) (non puoi in generale avere la disuguaglianza stretta).
D'altra parte, usando l'equazione differenziale,
\[
y'(\bar{t}) = e^{\bar{t}} - P(\bar{t}) < 0,
\]
da cui l'assurdo.

[Paolo902]

Sì, decisamente più pulito.

Grazie.