Se una successione di funzioni è definita in tutto R, può convergere puntualmente o uniformemente?

[thedoctor15]

puntualmente magari sì , ma uniformemente? Mica esiste l'estremo superiore che deve convergere a zero?

[poll89]

la tua domanda è un po' vaga, ti lascio la pagina di wikipedia sulla convergenza uniforme, magari se dai uno sguardo alle ipotesi risolvi da te il problema.

[Epimenide93]

\[f_n (x) = \frac{\sin (x)}{n}\]

Si considera il \(\sup\) delle immagini, non del dominio.

[vict85]

Una generica successione di funzioni definite su tutto \(\mathbb{R}\) può non convergere affatto. Persino supponendole continue e comprese tra due funzioni costanti. Persino supponendole tutte periodiche.

Immagino che tu voglia sapere due cose. Data una successione \(\displaystyle f_n \) di funzioni continue che converge puntualmente ad una funzione \(\displaystyle f \):
[list=1][*:29r1wkpw] \(\displaystyle f \) è continua? [/*:m:29r1wkpw]
[*:29r1wkpw] la convergenza è uniforme?[/*:m:29r1wkpw][/list:o:29r1wkpw]

Per la seconda la risposta è ovviamente no, esempi ne trovi tanti. Per la prima di lascio ragionare.

[stormy1]

@vict85
da quanto ho capito,l'utente chiedeva un'altra cosa : "posso dire con sicurezza che una successione di funzioni definita in tutto $mathbbR$ non può mai convergere uniformemente ?"
la risposta è no,come illustrato con un esempio da Epimenide

[vict85]

Mi sembra una domanda ancora con meno senso. La successione costante di una funzione definita su tutto \(\mathbb{R}\) converge in tutti i sensi possibili e la funzione può essere di qualsiasi tipo.

[stormy1]

e che ti devo dire,la domanda era quella