Se io vi chiedessi quale è la trasformata...
- se vi chiedessi quale è la trasoformata di $|x|$ nel caso unidimensionale voi che mi rispondereste? (cercando di trovare anche un modo per cui la trasformata abbia senso)
- e se vi chiedessi quella di $1/(x^2)$? (vedi sopra)
le due domande nelle mie intenzioni dovrebbero essere collegate...
thx in advance
- e se vi chiedessi quella di $1/(x^2)$? (vedi sopra)
le due domande nelle mie intenzioni dovrebbero essere collegate...
thx in advance
Risposte
Che nome ha la trasformazione di cui fai riferimento? 
oh già scusa.... è che io ne conosco solo una (cioè esiste anche laplace ma nn l'ho mai vista "in azione")... anyway qua si parla di quella di Fourier! 
nel caso abbiate paura che la mia domanda sia senza senso, dite pure, eh... anche questo è un punto della questione!
nel caso abbiate paura che la mia domanda sia senza senso, dite pure, eh... anche questo è un punto della questione!
Ciao...queste trasformate hanno senso nel campo delle distribizioni.
Diversamente le trasformate non esisterebbero in quanto la prima funzione diverge all'infinito , mentre la seconda diverge nell'origine.
Per la prima ho ragionato nel segunete modo:
considero innanzitutto la derivata della funzione modulo cioè $sign(x)$ ora facendo la trasformata si ottiene:
$F[sign(x)]=(-2*i)/omega=i omega F[|x|] => F[|x|]=-2/omega^2$
Per trovare la trasformata di $1/x^2$ si può applicare la nota relazione di dualità della T.d.F. dalla quale si ottiene:
$F[1/x^2]=- pi |x|$.
Diversamente le trasformate non esisterebbero in quanto la prima funzione diverge all'infinito , mentre la seconda diverge nell'origine.
Per la prima ho ragionato nel segunete modo:
considero innanzitutto la derivata della funzione modulo cioè $sign(x)$ ora facendo la trasformata si ottiene:
$F[sign(x)]=(-2*i)/omega=i omega F[|x|] => F[|x|]=-2/omega^2$
Per trovare la trasformata di $1/x^2$ si può applicare la nota relazione di dualità della T.d.F. dalla quale si ottiene:
$F[1/x^2]=- pi |x|$.
Tanto per puntualizzare e non creare equivoci, la relazione di dualità che ho utilizzato nella spiegazione precedente è la seguente.
Se con $F[f(x)]$ indico la T.d.F della funzione $f(x)$ allora $F[F[f(x)]]=2 \pi f(-x)$
Se con $F[f(x)]$ indico la T.d.F della funzione $f(x)$ allora $F[F[f(x)]]=2 \pi f(-x)$
ok ottimo... i risultati sembrano corretti
a questo punto però ti chiederei due cose...
1) Prendiamo la prima funzione. Diciamo che questa è una distribuzione sullo spazio di Schwarz... e fin qua nessun problema...
Prendiamo la seconda... se la integriamo con $int e^(-x^2)/x^2 dx$, questo è divergente... come si risolve questo problema?
Eppure mi sembra che la trasformata di una distribuzione (temperata) debba esserlo a sua volta...
2) supponiamo di prendere la funzione $1/(x^2+a^2)$, la cui trasformata credo sia $1/(2a)*e^-|ka|$. Queste trasformate non dovrebbero in qualche senso "approssimare" la trasformata per $a=0$, ovvero il modulo? che so, con inviluppi strani? perchè non accade e invece il limite puntuale diverge in ogni punto?
PS: mi interessa capire la questione per capire se in che senso l'integrale $int e^(i\omega x)/(x^2+a^2) dx$ (che è una trasformata di fourier possa approssimare l'integrale $int e^(i\omega x)/(x^2) dx$ quando a diventa nullo... e che senso posso dare all'ultimo integrale...
a questo punto però ti chiederei due cose...
1) Prendiamo la prima funzione. Diciamo che questa è una distribuzione sullo spazio di Schwarz... e fin qua nessun problema...
Prendiamo la seconda... se la integriamo con $int e^(-x^2)/x^2 dx$, questo è divergente... come si risolve questo problema?
Eppure mi sembra che la trasformata di una distribuzione (temperata) debba esserlo a sua volta...
2) supponiamo di prendere la funzione $1/(x^2+a^2)$, la cui trasformata credo sia $1/(2a)*e^-|ka|$. Queste trasformate non dovrebbero in qualche senso "approssimare" la trasformata per $a=0$, ovvero il modulo? che so, con inviluppi strani? perchè non accade e invece il limite puntuale diverge in ogni punto?
PS: mi interessa capire la questione per capire se in che senso l'integrale $int e^(i\omega x)/(x^2+a^2) dx$ (che è una trasformata di fourier possa approssimare l'integrale $int e^(i\omega x)/(x^2) dx$ quando a diventa nullo... e che senso posso dare all'ultimo integrale...
La trasformata di F. ad esempio di $1/x^2$ viene intesa come trasformata sul valore principale di $1/x^2$. In questo modo la funzione è sommabile.
non capisco perchè il valore principale dell'integrale sia finito... se isolo lo 0 e faccio l'ingegrale tra -inf e -epsilon più quello tra epsilon e più infinito otterrò per parità due volte il valore dell'integrale tra epsilon e più infinito, che diverge...
scusa mi sfugge qualcosa...
scusa mi sfugge qualcosa...
continuo ad essere molto confuso 
Mi pare che vadano fatte alcune precisazioni.
$1/x^2$ non è una funzione (nel senso delle distribuzioni) in quanto non è localmente integrabile. Bisogna quindi specificare bene cosa si intende
quando si scrive $1/x^2$ (nota che lo stesso problema si pone se si parla di $1/x$).
Un modo standard di definire $u=1/x^2$ è di dire che $u=-f''$ dove $f(x)=\ln(|x|)$ ( e $f$ è localmente integrabile - analogamente $1/x=f'$).
In questo modo non è difficile ricavare (applicando le definizioni) che $x^2u=1$. Però $u$ NON è l'unica distribuzione con questa proprietà,
infatti anche $u+c_1\delta+c_2\delta'$, con $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie, verifica la stessa relazione. Quindi la definizione di $1/x^2$ è
in qualche modo arbitraria (perlomeno non si può definirla come la $u$ tale che $x^2u=1$). E' comunque vero che $xu=1/x$ (dove anche $1/x$ è
"quella giusta") e quindi il calcolo fatto da clrscr è corretto).
Concordo invece col fatto che $1/x^2$ non può essere inteso nel senso del valore principale.
Per quanto riguarda $u_a=1/{x^2+a^2}$ direi che $u_a\to u$ in $S'$ e quindi la trasformata di $u_a$ tende in $S'$ alla trasformata di $u$ - non so
se ci siano altre relazioni "integrali" più trasparenti.
$1/x^2$ non è una funzione (nel senso delle distribuzioni) in quanto non è localmente integrabile. Bisogna quindi specificare bene cosa si intende
quando si scrive $1/x^2$ (nota che lo stesso problema si pone se si parla di $1/x$).
Un modo standard di definire $u=1/x^2$ è di dire che $u=-f''$ dove $f(x)=\ln(|x|)$ ( e $f$ è localmente integrabile - analogamente $1/x=f'$).
In questo modo non è difficile ricavare (applicando le definizioni) che $x^2u=1$. Però $u$ NON è l'unica distribuzione con questa proprietà,
infatti anche $u+c_1\delta+c_2\delta'$, con $c_1$ e $c_2$ costanti arbitrarie, verifica la stessa relazione. Quindi la definizione di $1/x^2$ è
in qualche modo arbitraria (perlomeno non si può definirla come la $u$ tale che $x^2u=1$). E' comunque vero che $xu=1/x$ (dove anche $1/x$ è
"quella giusta") e quindi il calcolo fatto da clrscr è corretto).
Concordo invece col fatto che $1/x^2$ non può essere inteso nel senso del valore principale.
Per quanto riguarda $u_a=1/{x^2+a^2}$ direi che $u_a\to u$ in $S'$ e quindi la trasformata di $u_a$ tende in $S'$ alla trasformata di $u$ - non so
se ci siano altre relazioni "integrali" più trasparenti.
Grazie VGE!.... dopo che ho letto la tua risposta sono andato a guardare in biblioteca un qualche libro sulle distribuzioni... e definisce le cose esattamente come fai te...
Di più dice solo che possiamo dare senso alla funzione $1/x^2$ vedendola come integrale, se vediamo l'integrale nel senso di "Hadamard"... che in pratica se ho ben capito "toglie" la parte divergente dell'integrale...
A questo punto rimango nei casini per quel che mi serviva, ma almeno questa questione acquista un pò più di senso... ..... grazie!
Di più dice solo che possiamo dare senso alla funzione $1/x^2$ vedendola come integrale, se vediamo l'integrale nel senso di "Hadamard"... che in pratica se ho ben capito "toglie" la parte divergente dell'integrale...
A questo punto rimango nei casini per quel che mi serviva, ma almeno questa questione acquista un pò più di senso...
..... grazie!
Sono contento di essere stato utile - mi guarderò anch'io questo integrale di Hadamard, che non conosco.
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