Se $f(x) \leq g(x)$, allora $\lim_{x \to x_0} f(x) \leq \lim_{x \to x_0} g(x)$
Salve a tutti! Ho sempre usato il risultato nel titolo senza averlo mai dimostrato, perciò mi sono deciso a dimostrarlo.
Le ipotesi sono quindi: sia $x_0$ un punto di accumulazione per $A$ e siano $f,g:A \to \mathbb{R}$ tali che $f(x) \leq g(x)$ per ogni $x \in A$.
Siano poi
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = l \in\mathbb{R}$$
$$\lim_{x \to x_0}g(x)= m \in\mathbb{R}$$
Allora
$$\lim_{x \to x_0} f(x) \leq \lim_{x \to x_0} g(x)$$
Dimostrazione
Per le ipotesi sui limiti si ha che $\forall \varepsilon_1 >0 \exists \delta_1 >0$ t.c. se $|x-x_0| < \delta_1$ allora $|f(x)-l| \leq \varepsilon_1$ e si ha che $\forall \varepsilon_2 >0 \exists \delta_2 >0$ t.c. se $|x-x_0| < \delta_2$ allora $|g(x)-m| \leq \varepsilon_2$.
Dunque abbiamo le stime $l-\varepsilon_1 \leq f(x) \leq l+\varepsilon_1$ e $m-\varepsilon_2 \leq g(x) \leq m+\varepsilon_2$.
Pertanto posto $\delta :=\min{\delta_1, \delta_2}$ segue che se $|x-x_0| < \delta$ le stime valgono simultaneamente, inoltre per ipotesi $f(x) \leq g(x)$ e perciò risulta
$$l-\varepsilon_1 \leq f(x) \leq g(x) \leq m+\varepsilon_2$$
Da cui segue che $l-\varepsilon_1 \leq m+\varepsilon_2$, sommando ad ambo i membri $\varepsilon_1$ si ottiene quindi $l \leq m+\varepsilon_1 +\varepsilon_2$; per l'arbitrarietà di $\varepsilon_1$ e $\varepsilon_2$ si ottiene $l \leq m$.
Ha senso? Ci sono imprecisioni? O è completamente sbagliata?
Grazie a tutti per il vostro tempo!
Le ipotesi sono quindi: sia $x_0$ un punto di accumulazione per $A$ e siano $f,g:A \to \mathbb{R}$ tali che $f(x) \leq g(x)$ per ogni $x \in A$.
Siano poi
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = l \in\mathbb{R}$$
$$\lim_{x \to x_0}g(x)= m \in\mathbb{R}$$
Allora
$$\lim_{x \to x_0} f(x) \leq \lim_{x \to x_0} g(x)$$
Dimostrazione
Per le ipotesi sui limiti si ha che $\forall \varepsilon_1 >0 \exists \delta_1 >0$ t.c. se $|x-x_0| < \delta_1$ allora $|f(x)-l| \leq \varepsilon_1$ e si ha che $\forall \varepsilon_2 >0 \exists \delta_2 >0$ t.c. se $|x-x_0| < \delta_2$ allora $|g(x)-m| \leq \varepsilon_2$.
Dunque abbiamo le stime $l-\varepsilon_1 \leq f(x) \leq l+\varepsilon_1$ e $m-\varepsilon_2 \leq g(x) \leq m+\varepsilon_2$.
Pertanto posto $\delta :=\min{\delta_1, \delta_2}$ segue che se $|x-x_0| < \delta$ le stime valgono simultaneamente, inoltre per ipotesi $f(x) \leq g(x)$ e perciò risulta
$$l-\varepsilon_1 \leq f(x) \leq g(x) \leq m+\varepsilon_2$$
Da cui segue che $l-\varepsilon_1 \leq m+\varepsilon_2$, sommando ad ambo i membri $\varepsilon_1$ si ottiene quindi $l \leq m+\varepsilon_1 +\varepsilon_2$; per l'arbitrarietà di $\varepsilon_1$ e $\varepsilon_2$ si ottiene $l \leq m$.
Ha senso? Ci sono imprecisioni? O è completamente sbagliata?
Grazie a tutti per il vostro tempo!
Risposte
Mi sembra corretta e pulita.
A me no. 
Devi supporre che le funzioni siano regolari, prima di dare un nome si loro limiti.
Ma poi, si può ragionare anche in maniera più indolore...
Devi supporre che le funzioni siano regolari, prima di dare un nome si loro limiti.
Ma poi, si può ragionare anche in maniera più indolore...
Grazie ad entrambi innanzitutto!
@gugo82 con funzioni regolari cosa intendi? Ho sentito parlare di classi di regolarità $\mathcal{C}^k$ per funzioni, ma credo che tu stia semplicemente intendendo con funzione regolare una funzione che ha limite (in effetti potrebbero non esistere).
In sostanza, prima di dare un nome ai limiti devo supporre che questi esistano!
Se così fosse, ho sempre pensato che la dicitura "siano $l$ ed $m$ i limiti..." anteposta alla tesi presupponesse l'esistenza; credo di aver avuto una convinzione sbagliata fino ad oggi allora.
Sempre se non ho inteso male cosa intendevi
@gugo82 con funzioni regolari cosa intendi? Ho sentito parlare di classi di regolarità $\mathcal{C}^k$ per funzioni, ma credo che tu stia semplicemente intendendo con funzione regolare una funzione che ha limite (in effetti potrebbero non esistere).
In sostanza, prima di dare un nome ai limiti devo supporre che questi esistano!
Se così fosse, ho sempre pensato che la dicitura "siano $l$ ed $m$ i limiti..." anteposta alla tesi presupponesse l'esistenza; credo di aver avuto una convinzione sbagliata fino ad oggi allora.
Sempre se non ho inteso male cosa intendevi
"gugo82":
[...] Devi supporre che le funzioni siano regolari [...]
"Regolari" in che senso?
Più o meno ovunque è riportata una definizione simile:
Siano $X sube RR$ non vuoto, $x_0$ un p.d.a. (al finito o all'infinito) di $X$ ed $f:X -> RR$.
Si dice che $f$ è regolare in $x_0$ se esiste (finito o meno) il $lim_(x -> x_0) f(x)$.
Non l'avevo mai letta grazie ancora!
grazie ancora!
"Mephlip":
[...]
Se così fosse, ho sempre pensato che la dicitura "siano $l$ ed $m$ i limiti..." anteposta alla tesi presupponesse l'esistenza;[...]
In realtà anch'io sono di questa "scuola" (sloppy), dove quel "siano poi" tende a significare "esistano poi". Ovviamente il significato è chiaro, ma se vuoi formulare una proposizione devi farlo in maniera pedante. Ciao.
A occhio non serve una gran regolarità delle due funzioni per avere quel risultato. Insomma, sia \(\{x_i\}\) una successione tale che \(x_i\mapsto x_0\). Supponiamo inoltre che \(f\) e \(g\) siano definite per ogni punto della successione. Allora banalmente \(\limsup f(a_i) \le \limsup g(a_i)\) e \(\liminf f(a_i) \le \liminf g(a_i)\). Se i due limiti coincidono allora si ha il risultato.
@080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6: grazie per il consiglio!
@vict85: non sono molto pratico di $\text{limsup}$ e $\text{liminf}$, per questo ho cercato di fare una dimostrazione da "prima passata" di analisi $1$; grazie comunque per lo spunto, non appena sarò più pratico di $\text{limsup}$ e $\text{liminf}$ cercherò sicuramente di dimostrarla anche in quel modo!
@vict85: non sono molto pratico di $\text{limsup}$ e $\text{liminf}$, per questo ho cercato di fare una dimostrazione da "prima passata" di analisi $1$; grazie comunque per lo spunto, non appena sarò più pratico di $\text{limsup}$ e $\text{liminf}$ cercherò sicuramente di dimostrarla anche in quel modo!
"vict85":
A occhio non serve una gran regolarità delle due funzioni per avere quel risultato. Insomma, sia \(\{x_i\}\) una successione tale che \(x_i\mapsto x_0\). Supponiamo inoltre che \(f\) e \(g\) siano definite per ogni punto della successione. Allora banalmente \(\limsup f(a_i) \le \limsup g(a_i)\) e \(\liminf f(a_i) \le \liminf g(a_i)\). Se i due limiti coincidono allora si ha il risultato.
Appoggio incondizionatamente questa risposta. Aggiungo che, nella pratica, questo teorema si usa spessissimo così. In questo modo si può applicare senza sapere a priori che il limite esiste.
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