Se f(x) è derivabile in x0, allora è continua in x0
La dimostrazione è questa
http://i62.tinypic.com/3497yfk.png
non riesco a capire il secondo passaggio... perché diventa in questo modo?
Negli appunti del mio professore prima di questo passaggio c'è:
f(x) = f(x) - f(x0) + f(x0)
Ma non riesco a capire nemmeno come dal limite sia arrivato a fare questo
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non riesco a capire il secondo passaggio... perché diventa in questo modo?
Negli appunti del mio professore prima di questo passaggio c'è:
f(x) = f(x) - f(x0) + f(x0)
Ma non riesco a capire nemmeno come dal limite sia arrivato a fare questo
Risposte
È piuttosto semplice se lo scrivi come
\(\displaystyle f(x) - f(x_0) = \bigl(f(x) - f(x_0)\bigr)\cdot 1 = \bigl(f(x) - f(x_0)\bigr)\frac{x-x_0}{x-x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}(x - x_0) \)
insomma non dipende dal punto 1, è solo algebra.
\(\displaystyle f(x) - f(x_0) = \bigl(f(x) - f(x_0)\bigr)\cdot 1 = \bigl(f(x) - f(x_0)\bigr)\frac{x-x_0}{x-x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}(x - x_0) \)
insomma non dipende dal punto 1, è solo algebra.
scusate l'ignoranza, ma non riesco a capire come dal lim f(x) = f(x0) posso arrivare a quel passaggio
Non deriva dal limite, deriva da semplici considerazioni algebriche. Prova a rileggere ciò che ti ho scritto sopra dimenticando le derivate. Quello è sempre vero, anche se \(f\) è discontinua e non derivabile in nessun punto. Insomma è semplice calcolo letterale.
Il passaggio successivo fa il limite di quella uguaglianza e usa alcune proprietà dei limiti e la definizione di derivata per concludere.
Il passaggio successivo fa il limite di quella uguaglianza e usa alcune proprietà dei limiti e la definizione di derivata per concludere.
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