Se derivabile è anche continua
carissimi matematici,
nella dimostrazione del teorema c'è una cosa che non capisco,ovvero :
per dimostrare che la derivata di una funzione è continua devo dimostrare che
limx->x0 f(x) = f(x0)
che equivale a dire
limh->0 f(x0+h) = f(x0)
arrivando quindi a dire
limh->0 f(x0+h) - f(x0) = 0
poi seguiranno i calcoli dividendo e moltiplicando per h.
Quello che non mi è chiaro è perchè in questi passaggi visti dovrei trovare una corellazione con la derivata della funzione e non con la funzione stessa ,e secondariarmente perchè è possibile dichiarare che limx->x0 f(x) = f(x0) = limh->0 f(x0+h) = f(x0)
nella dimostrazione del teorema c'è una cosa che non capisco,ovvero :
per dimostrare che la derivata di una funzione è continua devo dimostrare che
limx->x0 f(x) = f(x0)
che equivale a dire
limh->0 f(x0+h) = f(x0)
arrivando quindi a dire
limh->0 f(x0+h) - f(x0) = 0
poi seguiranno i calcoli dividendo e moltiplicando per h.
Quello che non mi è chiaro è perchè in questi passaggi visti dovrei trovare una corellazione con la derivata della funzione e non con la funzione stessa ,e secondariarmente perchè è possibile dichiarare che limx->x0 f(x) = f(x0) = limh->0 f(x0+h) = f(x0)
Risposte
Noi dobbiamo dimostrare che:
Ovvero che dall'essere vero che una certa funzione sia derivabile in $x_0$, riesco a dedurre ch'essa sia ivi continua. Partendo da questo supposto, quando è vera l'implicazione nel caso in cui l'antecedente sia vero? solo nel caso in cui anche il conseguente sia vero.
Io l'unica cosa che so è che sotto queste ipotesi:
sia $f:(a,b)->RR$ una funzione e $x_0in(a,b)$ un punto interno all'intervallo. Se $f$ è derivabile in $x_0$ allora è ivi continua.
è che il limite $lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0)$ è vero.
Quindi è questo il punto di partenza da cui devo dimostrare l'implicazione.
certamente è vero che $lim_(x->x_0)[(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)-f'(x_0)]=0$
non ho fatto nulla di 'illecito'.
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0))/(x-x_0)=0$
ora c'è una problematica, il mappazzone a numeratore è un infinitesimo di ordine superiore al mappazzone del denominatore. Di fatti il risultato del limite è $0$
da questo si deduce che deve essere $lim_(x->x_0)[f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0)]=0$
che dopo un passaggio diventa $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$
quindi siamo partiti dalle ipotesi, per giungere alla tesi. Nota che nelle ipotesi abbiamo supposto che fosse derivabile in $x_0$ e non su tutto $(a,b)$. Naturalmente per essere derivabile su tutto $(a,b)$ deve essere derivabile in ogni punto interno all'intervallo.
Avendo dimostrato che \(\displaystyle derivabilità \)$=>$\(\displaystyle continuità \) possiamo dire che la continuità è una condizione necessaria per la derivabilità. Di fatti se il conseguente è falso, è inutile che ci poniamo il problema. Può sembrare una cosa banale, ma è un teorema importantissimo. Questo ci dice che la primitiva di una funzione definita in un certo intervallo, è continua in quell'intervallo.
Nelle dimostrazioni che ho visto in giro, alcuni partono direttamente da:
secondo me questa forma è molto equivoca, poiché è vero certamente che si tratta di un'identità, ma non sto sfruttando nessuna ipotesi, anzi, sto dicendo che $f(x_0)$ è definita.
Ora, passo al tuo ultimo dubbio. Il limite $lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0)$
cosa mi vieta dal dire $x=x_0+h$? niente. Posso notare che se $x->x_0$ ho che $h->0$
sostituendo nel limite ottengo $lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=f'(x_0)$
facendo analoghe considerazioni, giungo allo stesso risultato di prima. Alla fine ho sempre la definizione di derivata, poiché sto sempre considerando un rapporto incrementale. Se prima ho un punto $x$ variabile e libero di muoversi vicino a $x_0$ quanto gli pare, dall'altro lato ho $x_0+h$ in cui è $h$ libero di variare, ma alla fine entrambi i limiti tendono allo stesso punto, infatti è un semplice cambio di variabile. I metodi per scrivere una derivata sono due.
$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=f'(x_0)$ con i punti $P(x_0,f(x_0))$ e $Q(x_0+h,f(x_0+h))$ con $Q->P$
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0)$ con i punti $P(x_0,f(x_0))$, $Q(x,f(x))$ e sempre $Q->P$
Metto sotto spoiler un esempio banale, spero di esserti stato utile
\(\displaystyle derivabilità \)$=>$\(\displaystyle continuità \)
Ovvero che dall'essere vero che una certa funzione sia derivabile in $x_0$, riesco a dedurre ch'essa sia ivi continua. Partendo da questo supposto, quando è vera l'implicazione nel caso in cui l'antecedente sia vero? solo nel caso in cui anche il conseguente sia vero.
Io l'unica cosa che so è che sotto queste ipotesi:
sia $f:(a,b)->RR$ una funzione e $x_0in(a,b)$ un punto interno all'intervallo. Se $f$ è derivabile in $x_0$ allora è ivi continua.
è che il limite $lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0)$ è vero.
Quindi è questo il punto di partenza da cui devo dimostrare l'implicazione.
certamente è vero che $lim_(x->x_0)[(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)-f'(x_0)]=0$
non ho fatto nulla di 'illecito'.
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0))/(x-x_0)=0$
ora c'è una problematica, il mappazzone a numeratore è un infinitesimo di ordine superiore al mappazzone del denominatore. Di fatti il risultato del limite è $0$
da questo si deduce che deve essere $lim_(x->x_0)[f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0)]=0$
che dopo un passaggio diventa $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$
quindi siamo partiti dalle ipotesi, per giungere alla tesi. Nota che nelle ipotesi abbiamo supposto che fosse derivabile in $x_0$ e non su tutto $(a,b)$. Naturalmente per essere derivabile su tutto $(a,b)$ deve essere derivabile in ogni punto interno all'intervallo.
Avendo dimostrato che \(\displaystyle derivabilità \)$=>$\(\displaystyle continuità \) possiamo dire che la continuità è una condizione necessaria per la derivabilità. Di fatti se il conseguente è falso, è inutile che ci poniamo il problema. Può sembrare una cosa banale, ma è un teorema importantissimo. Questo ci dice che la primitiva di una funzione definita in un certo intervallo, è continua in quell'intervallo.
Nelle dimostrazioni che ho visto in giro, alcuni partono direttamente da:
$f(x_0)+(f(x)-f(x_0))/h*h=f(x)$
secondo me questa forma è molto equivoca, poiché è vero certamente che si tratta di un'identità, ma non sto sfruttando nessuna ipotesi, anzi, sto dicendo che $f(x_0)$ è definita.
Ora, passo al tuo ultimo dubbio. Il limite $lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0)$
cosa mi vieta dal dire $x=x_0+h$? niente. Posso notare che se $x->x_0$ ho che $h->0$
sostituendo nel limite ottengo $lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=f'(x_0)$
facendo analoghe considerazioni, giungo allo stesso risultato di prima. Alla fine ho sempre la definizione di derivata, poiché sto sempre considerando un rapporto incrementale. Se prima ho un punto $x$ variabile e libero di muoversi vicino a $x_0$ quanto gli pare, dall'altro lato ho $x_0+h$ in cui è $h$ libero di variare, ma alla fine entrambi i limiti tendono allo stesso punto, infatti è un semplice cambio di variabile. I metodi per scrivere una derivata sono due.
$lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h=f'(x_0)$ con i punti $P(x_0,f(x_0))$ e $Q(x_0+h,f(x_0+h))$ con $Q->P$
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0)$ con i punti $P(x_0,f(x_0))$, $Q(x,f(x))$ e sempre $Q->P$
Metto sotto spoiler un esempio banale, spero di esserti stato utile
La dimostrazione è banale considerando che se f è derivabile allora è differenziabile:
$f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$
Quindi:
$|f(x)-f(x_0)|=|f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)|<=|f'(x_0)|*|x-x_0|+|o(x-x_0)|$
Da cui la tesi
$f(x)-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)$
Quindi:
$|f(x)-f(x_0)|=|f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0)|<=|f'(x_0)|*|x-x_0|+|o(x-x_0)|$
Da cui la tesi
"anto_zoolander":
Noi dobbiamo dimostrare che:
\(\displaystyle derivabilità \)$=>$\(\displaystyle continuità \)
Ovvero che dall'essere vero che una certa funzione sia derivabile in $x_0$, riesco a dedurre ch'essa sia ivi continua. Partendo da questo supposto, quando è vera l'implicazione nel caso in cui l'antecedente sia vero? solo nel caso in cui anche il conseguente sia vero.
Io l'unica cosa che so è che sotto queste ipotesi:
sia $f:(a,b)->RR$ una funzione e $x_0in(a,b)$ un punto interno all'intervallo. Se $f$ è derivabile in $x_0$ allora è ivi continua.
è che il limite $lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0)$ è vero.
Quindi è questo il punto di partenza da cui devo dimostrare l'implicazione.
certamente è vero che $lim_(x->x_0)[(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)-f'(x_0)]=0$
non ho fatto nulla di 'illecito'.
$lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0))/(x-x_0)=0$
ora c'è una problematica, il mappazzone a numeratore è un infinitesimo di ordine superiore al mappazzone del denominatore. Di fatti il risultato del limite è $0$
da questo si deduce che deve essere $lim_(x->x_0)[f(x)-f(x_0)-(x-x_0)f'(x_0)]=0$
che dopo un passaggio diventa $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$
quindi siamo partiti dalle ipotesi, per giungere alla tesi. Nota che nelle ipotesi abbiamo supposto che fosse derivabile in $x_0$ e non su tutto $(a,b)$. Naturalmente per essere derivabile su tutto $(a,b)$ deve essere derivabile in ogni punto interno all'intervallo.
Percio' stai dicendo che per dimostrare che una funzione derivabile è anche continua partiamo dal punto che una funzione continua è derivabile,quindi se la derivata della funzione esiste allora la funzione è continua,quindi fai il limite del rapporto incrementale meno il suo risultato e dovresti ottenere 0.
Tu affermi che il numeratore è di un infinitesimo superiore al denominatore,questo perchè ho piu' elementi che tendono a 0?
Se è cosi il passaggio è tutto chiaro,purtroppo pero' il corso mi ha ha dato una dimostrazione diversa ,se qualcuno capisce bene,altrimenti compro quella di anto_zelander che è chiarissima
$lim_(h->h_0)(f(x0+h)-f(x_0))$
moltiplicando e dividendo tutto per h ottengo
f ′(x0) · 0 = 0
quindi
$lim_(h->h_0)(f(x0+h)=f(x_0))$
da cui si dimostra la tesi
$lim_(x->x_0)(f(x)=f(x_0))$
Pultroppo non riesco a capirlo,non riesco a capire specialmente il punto di partenza.
"ruggieropietro":
Percio' stai dicendo che per dimostrare che una funzione derivabile è anche continua partiamo dal punto che una funzione continua è derivabile,quindi se la derivata della funzione esiste allora la funzione è continua,quindi fai il limite del rapporto incrementale meno il suo risultato e dovresti ottenere 0.
Tu affermi che il numeratore è di un infinitesimo superiore al denominatore,questo perchè ho piu' elementi che tendono a 0?
Aspetta, io suppongo che derivabile. Se una funzione è derivabile in un punto, allora esistono i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale e sono uguali.
$lim_(h->0^+)(f(x_0)-f(x))/(x_0-x)=lim_(h->0^-)(f(x_0)-f(x))/(x_0-x)$
ovvero esiste finito il limite e questo limite prende il nome di derivata:
$lim_(h->0)(f(x_0)-f(x))/(x_0-x)=f'(x_0)$
Questa è la nostra ipotesi, ma non sto dicendo nulla circa la continuità. Anzi devo provarla, e la provo in quel modo.
Il ragionamento proposto da anto_zoolander si può semplificare un
pochino.
Abbiamo:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0} f(x) &= \lim_{x\to x_0} f(x) - f(x_0) + f(x_0)\\
&= \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0) + f(x_0)\\
&= \underbrace{f^\prime (x_0)}_{\in \mathbb{R}}\cdot 0 + f(x_0)\\
&= f(x_0)
\end{split}
\]
che è la continuità di $f$ in $x_0$.
pochino.
Abbiamo:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0} f(x) &= \lim_{x\to x_0} f(x) - f(x_0) + f(x_0)\\
&= \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\cdot (x-x_0) + f(x_0)\\
&= \underbrace{f^\prime (x_0)}_{\in \mathbb{R}}\cdot 0 + f(x_0)\\
&= f(x_0)
\end{split}
\]
che è la continuità di $f$ in $x_0$.
"anto_zoolander":
[quote="ruggieropietro"]Percio' stai dicendo che per dimostrare che una funzione derivabile è anche continua partiamo dal punto che una funzione continua è derivabile,quindi se la derivata della funzione esiste allora la funzione è continua,quindi fai il limite del rapporto incrementale meno il suo risultato e dovresti ottenere 0.
Tu affermi che il numeratore è di un infinitesimo superiore al denominatore,questo perchè ho piu' elementi che tendono a 0?
Aspetta, io suppongo che derivabile. Se una funzione è derivabile in un punto, allora esistono i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale e sono uguali.
$lim_(h->0^+)(f(x_0)-f(x))/(x_0-x)=lim_(h->0^-)(f(x_0)-f(x))/(x_0-x)$
ovvero esiste finito il limite e questo limite prende il nome di derivata:
$lim_(h->0)(f(x_0)-f(x))/(x_0-x)=f'(x_0)$
Questa è la nostra ipotesi, ma non sto dicendo nulla circa la continuità. Anzi devo provarla, e la provo in quel modo.[/quote]
Quindi tu dici che una funzione derivabile è continua siccome il limite del rapporto incrementale da destra è uguale al limite dal rapporto incrementale da destra,come da definizione di continuità della funzione,ma come hai messo in relazione questo con la dimostrazione del teorema del post precedente?
Se suppongo che una funzione è derivabile in un punto $x_0$ vuol dire che esistono la derivata destra e sinistra. È la definizione di derivabilità in un punto.
Quindi se esiste $lim_(h->0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ vuol dire che esistono quei due limiti finiti e sono uguali.
Sono tutte cose legate tra loro. La dimostrazione parte dalla definizione di derivata, per arrivare alla tesi. Tu cosa devi dimostrare? Che se è derivabile in un punto(ipotesi) allora la funzione è continua in un punto(tesi). Tutto quello che viene dopo è la dimostrazione. Forse manca qualche concetto sulla derivata.
Quindi se esiste $lim_(h->0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ vuol dire che esistono quei due limiti finiti e sono uguali.
Sono tutte cose legate tra loro. La dimostrazione parte dalla definizione di derivata, per arrivare alla tesi. Tu cosa devi dimostrare? Che se è derivabile in un punto(ipotesi) allora la funzione è continua in un punto(tesi). Tutto quello che viene dopo è la dimostrazione. Forse manca qualche concetto sulla derivata.
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