Scrittura integrale doppio e calcolo con una funzione particolare
Sia $D={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=3,y<=abs(x)}$. Scrivere $\int int_D f(x,y)dxdy$ per mezzo di fili verticali e fili orizzontali. Sia $ninNN$ e $f_n(x,y)=1/(1+x^2+y^2)^n$, calcolare mediante coordinate polari $\int int_D f_n(x,y)dxdy$ e mostrare che $lim_{n->+infty}\int int_D f_n(x,y)dxdy=0$. Infine dire come si poteva ottenere questo risultato senza fare calcoli.
$y$-fili: $\int_-sqrt(3)^-sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{sqrt(3-x^2)}f(x,y)dy)dx+\int_-sqrt(3/2)^0(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{-x}f(x,y)dy)dx+\int_0^sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{x}f(x,y)dy)dx+\int_sqrt(3/2)^sqrt(3)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{sqrt(3-x^2)}f(x,y)dy)dx$
$x$-fili: $\int_-sqrt(3)^0(\int_{-sqrt(3-y^2)}^{sqrt(3-y^2)}f(x,y)dx)dy+\int_0^sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-y^2)}^{-y}f(x,y)dx+\int_{y}^{sqrt(3-y^2)}f(x,y)dx)dy$
Ponendo $x=rcos(\theta),y=rsin(\theta)$, abbiamo che l'integrale diventa $\int_{-5/4pi}^{pi/4}(\int_0^{sqrt(3)}r/(1+r^2)^ndr)d\theta={(9/4pi,if n=0),((3ln(4))/2,if n=1),(3/2pi(1/(2*(1-n)*4^(n-1))-1/(2(1-n))),if n>1):}$
E si ha che $lim_{n->+infty}\int int_D f_n(x,y)dxdy=lim_{n->+infty}3/2pi(1/(2*(1-n)*4^(n-1))-1/(2(1-n)))=0$
Osserviamo che $lim_{n->+infty}f_n(x,y)=0$ (poiche $1+x^2+y^2>=1$) e inoltre si ha che $1$ è sommabile e $|f_n(x,y)|<=1$ allora per il teorema di convergenza dominata di Lebesgue vale: $lim_{n->+infty}\int int_D f_n(x,y)dxdy=\int int_D lim_{n->+infty}f_n(x,y)dxdy=\int int_D 0 dxdy=0$.
Volevo sapere se andasse bene e se avessi giustificato tutto correttamente, grazie.
$y$-fili: $\int_-sqrt(3)^-sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{sqrt(3-x^2)}f(x,y)dy)dx+\int_-sqrt(3/2)^0(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{-x}f(x,y)dy)dx+\int_0^sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{x}f(x,y)dy)dx+\int_sqrt(3/2)^sqrt(3)(\int_{-sqrt(3-x^2)}^{sqrt(3-x^2)}f(x,y)dy)dx$
$x$-fili: $\int_-sqrt(3)^0(\int_{-sqrt(3-y^2)}^{sqrt(3-y^2)}f(x,y)dx)dy+\int_0^sqrt(3/2)(\int_{-sqrt(3-y^2)}^{-y}f(x,y)dx+\int_{y}^{sqrt(3-y^2)}f(x,y)dx)dy$
Ponendo $x=rcos(\theta),y=rsin(\theta)$, abbiamo che l'integrale diventa $\int_{-5/4pi}^{pi/4}(\int_0^{sqrt(3)}r/(1+r^2)^ndr)d\theta={(9/4pi,if n=0),((3ln(4))/2,if n=1),(3/2pi(1/(2*(1-n)*4^(n-1))-1/(2(1-n))),if n>1):}$
E si ha che $lim_{n->+infty}\int int_D f_n(x,y)dxdy=lim_{n->+infty}3/2pi(1/(2*(1-n)*4^(n-1))-1/(2(1-n)))=0$
Osserviamo che $lim_{n->+infty}f_n(x,y)=0$ (poiche $1+x^2+y^2>=1$) e inoltre si ha che $1$ è sommabile e $|f_n(x,y)|<=1$ allora per il teorema di convergenza dominata di Lebesgue vale: $lim_{n->+infty}\int int_D f_n(x,y)dxdy=\int int_D lim_{n->+infty}f_n(x,y)dxdy=\int int_D 0 dxdy=0$.
Volevo sapere se andasse bene e se avessi giustificato tutto correttamente, grazie.
Risposte
Ciao andreadel1988,
Mi pare corretto, a parte il valore dell'integrale per $n = 1 $ che mi risulta essere $(3\pi)/2 ln(2) $
Mi pare corretto, a parte il valore dell'integrale per $n = 1 $ che mi risulta essere $(3\pi)/2 ln(2) $
"pilloeffe":
Ciao andreadel1988,
Mi pare corretto, a parte il valore dell'integrale per $n = 1 $ che mi risulta essere $(3\pi)/2 ln(2) $
A ok quindi $3/4piln(4)$ (senza portare dentro al logaritmo esponenziali o altro), grazie.
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