Scrittura e calcolo di integrale triplo
Sia $V={(x,y,z)inRR^3|0<=z<=1+x^2+y^2,x^2+y^2+z^2<=5}$. Sia $finC(RR^3,RR)$, scrivere $\int int int_V f(x,y,z)dxdydz$ per mezzo di $z$-fili e per mezzo di $z$-strati. Dire poi perchè il teorema di Fubini è applicabile. Calcolare $\int int int_V x^2dxdydz$ obbligatoriamente per coordinate cilindriche e calcolare $\int int int_V x^3dxdydz$ senza fare calcoli.
$z$-fili: $\int int_D (\int_0^{sqrt(5-x^2-y^2)}f(x,y,z)dz)dxdy+\int int_{D'} (\int_0^{1+x^2+z^2}f(x,y,z)dz)dxdy$ con $D={(x,y)inRR^2|1<=x^2+y^2<=5}$ e $D'={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=1}$
$z$-strati $\int_0^1(\int int_D f(x,y,z)dxdy)dz+\int_1^2(\int int_{D'} f(x,y,z)dxdy)dz$, dove $D={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=5-z^2}$ e $D'={(x,y)inRR^2|z-1<=x^2+y^2<=5-z^2}$
Siccome $finC(RR^3,RR)$ e $V$ è un compatto allora $f$ è sommabile su $V$ e quindi si può applicare il teorema di Fubini.
Poniamo $x=rcos(\theta),y=rsin(\theta),z=t$ abbiamo $\int int int_V x^2dxdydz=\int int_D (int_0^{2pi} r^3cos^2(\theta)d\theta)drdt$ dove $D={(r,t)inRR^2|r>=0,0<=t<=1+r^2,t^2+r^2<=5}$. Usando che $\intcos^2(\theta)d\theta= \theta/2+cos(2\theta)/4$ l'integrale diventa $pi\int int_Dr^3drdt$. Rinominando $x=r$ e $y=t$ e usando $y$-fili abbiamo $pi(\int_0^1(\int_0^{1+x^2}x^3dy)dx+\int_1^sqrt(5)(\int_0^{sqrt(5-x^2)}x^3dy))dx=pi([x^6/6+x^4/4]_0^1+1/2([-2/3x^2(5-x^2)^(3/2)]_0^sqrt(5)+[-4/15(5-x^2)^(5/2)]_0^sqrt(5)))$
(i calcoli non li faccio)
Osserviamo che $V$ è invariante per i cambi di segno di $x$ e la funzione $x^3$ è dispari rispetto a $x$ per cui $\int int int_V x^3dxdydz=0$
Volevo sapere se ho giustificato tutto correttamente e se il procedimento è giusto, grazie.
$z$-fili: $\int int_D (\int_0^{sqrt(5-x^2-y^2)}f(x,y,z)dz)dxdy+\int int_{D'} (\int_0^{1+x^2+z^2}f(x,y,z)dz)dxdy$ con $D={(x,y)inRR^2|1<=x^2+y^2<=5}$ e $D'={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=1}$
$z$-strati $\int_0^1(\int int_D f(x,y,z)dxdy)dz+\int_1^2(\int int_{D'} f(x,y,z)dxdy)dz$, dove $D={(x,y)inRR^2|x^2+y^2<=5-z^2}$ e $D'={(x,y)inRR^2|z-1<=x^2+y^2<=5-z^2}$
Siccome $finC(RR^3,RR)$ e $V$ è un compatto allora $f$ è sommabile su $V$ e quindi si può applicare il teorema di Fubini.
Poniamo $x=rcos(\theta),y=rsin(\theta),z=t$ abbiamo $\int int int_V x^2dxdydz=\int int_D (int_0^{2pi} r^3cos^2(\theta)d\theta)drdt$ dove $D={(r,t)inRR^2|r>=0,0<=t<=1+r^2,t^2+r^2<=5}$. Usando che $\intcos^2(\theta)d\theta= \theta/2+cos(2\theta)/4$ l'integrale diventa $pi\int int_Dr^3drdt$. Rinominando $x=r$ e $y=t$ e usando $y$-fili abbiamo $pi(\int_0^1(\int_0^{1+x^2}x^3dy)dx+\int_1^sqrt(5)(\int_0^{sqrt(5-x^2)}x^3dy))dx=pi([x^6/6+x^4/4]_0^1+1/2([-2/3x^2(5-x^2)^(3/2)]_0^sqrt(5)+[-4/15(5-x^2)^(5/2)]_0^sqrt(5)))$
(i calcoli non li faccio)
Osserviamo che $V$ è invariante per i cambi di segno di $x$ e la funzione $x^3$ è dispari rispetto a $x$ per cui $\int int int_V x^3dxdydz=0$
Volevo sapere se ho giustificato tutto correttamente e se il procedimento è giusto, grazie.
Risposte
Ciao andreadel1988,
Ora è un po' tardi, ma c'è sicuramente un errore nell'estremo superiore dell'ultimo integrale qui:
Infatti l'estremo superiore è $1 + x^2 + y^2 $
Poi non capisco molto perché hai sentito il bisogno di usare $t$ al posto di $z$ (Io mi sarei tenuto $z$, uno standard nelle coordinate cilindriche... ), ma soprattutto perchè hai rinominato $r$ e $z $ (che mi sarei tenuto...), di nuovo con $x$ e $y$ che erano già rispettivamente $r cos\theta $ e $r sin\theta$: potevi almeno cambiare nomi, ad esempio $u$ e $v$, tanto per evitare confusione...
In generale, ti sconsiglierei di rinominare variabili se non è strettamente necessario, perché rischi inutilmente di sbagliarti...
Ora è un po' tardi, ma c'è sicuramente un errore nell'estremo superiore dell'ultimo integrale qui:
"andreadel1988":
$z$-fili:
$\int \int_D (\int_0^{\sqrt(5-x^2-y^2)}f(x,y,z)dz)dxdy+\int \int_{D'} (\int_0^{1+x^2+z^2}f(x,y,z)dz)dxdy $
Infatti l'estremo superiore è $1 + x^2 + y^2 $
Poi non capisco molto perché hai sentito il bisogno di usare $t$ al posto di $z$ (Io mi sarei tenuto $z$, uno standard nelle coordinate cilindriche... ), ma soprattutto perchè hai rinominato $r$ e $z $ (che mi sarei tenuto...), di nuovo con $x$ e $y$ che erano già rispettivamente $r cos\theta $ e $r sin\theta$: potevi almeno cambiare nomi, ad esempio $u$ e $v$, tanto per evitare confusione...
In generale, ti sconsiglierei di rinominare variabili se non è strettamente necessario, perché rischi inutilmente di sbagliarti...
Ok, tralasciando l'errore dell'estremo superiore (mia svista) e l'abuso di notazione il resto va bene giusto?
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