Scorciatoie per questa derivata?

[lemming78]

Ciao a tutti, domani ho un esame e ho notato adesso una cosa che ci potrebbe essere.
La massimizzazione di questa funzione.

$max_(w)(w/(\rho+\delta)+\delta/(\rho+\delta)V_u-V_u)^\beta((y-w)/(\rho+\delta)+\delta/(\rho+\delta)J_v-J_v)^(1-\beta)$

Per l'esame abbiamo soltanto un'ora e non posso credere di dover derivare questa roba e massimizzarla con le regole tradizionali della derivazione del prodotto più derivazione di una $[f(x)]^a$. Qualcuno mi sa dire se c'è qualche strategia più veloce? Grazie

[vittorino70]

Una scorciatoia ci sarebbe ma solo sotto le seguenti ipotesi:
a) l'unica variabile sia \(\displaystyle w \), le altre siano costanti rispetto a w
b) le quantità che compaiono nelle parentesi della funzione ed i relativi esponenti siano >0 :
\(\displaystyle \begin{cases} \frac{w}{\rho+\delta}+\frac{\delta}{\rho+\delta}V_u-V_u>0\\ \frac{y-w}{\rho+\delta}+\frac{\delta}{\rho+\delta}J_v-J_v>0\\ 0<\beta<1 \end{cases} \)
In tal caso è facile verificare che è:
\(\displaystyle \left( \frac{w}{\rho+\delta}+\frac{\delta}{\rho+\delta}V_u-V_u\right)+\left( \frac{y-w}{\rho+\delta}+\frac{\delta}{\rho+\delta} J_v-J_v\right) \)=costante
Se è così allora, per una regola elementare, il massimo si consegue quando le basi delle potenze che compaiono nella funzione sono proporzionali ai rispettivi esponenti :
\(\displaystyle \frac{\frac{w}{\rho+\delta}+\frac{\delta}{\rho+\delta}V_u-V_u}{\frac{y-w}{\rho+\delta}+\frac{\delta}{\rho+\delta} J_v-J_v}=\frac{\beta}{1-\beta} \)
Da qui è possibile ricavare la w che "massimizza" la funzione data.