Scomposizione polinomio numeri complessi/immaginari (credo)

[budgoz]

Ciao a tutti!
Ho estremo bisogno della scomposizione di questo:
$ x^2+2x+5 $
sembra facile..e magari anche lo è..però se c'è qualche anima pia che mi aiuta gratitudine a vita

[salvozungri]

Benvenuto nel forum! Ti invito a leggere il regolamento (click) e la pagina che ti spiega come si scrivono le formule (click). Da regolamento è previsto un tuo tentativo di soluzione.

Non hai nessuna idea? Proprio nessuna?

[budgoz]

Grazie! Ho modificato la formula..per la risoluzione sto riempiendo fogli ma non so da che parte buttarmi..sono uno studente di economia e a queste cose non si arriva a lezione..sto cercando di arrangiarmi con le spiegazioni da internet ma.....

[salvozungri]

Hai provato a trovare le soluzioni dell'equazione associata $x^2+2x+5=0$?

[budgoz]

"Mathematico":Hai provato a trovare le soluzioni dell'equazione associata $x^2+2x+5=0$?

si provato..ma..con Ruffini intendi?

[salvozungri]

Non con ruffini.. Intendo con la formuletta che si insegna alle superiori. Ti calcoli il discriminante [tex]\Delta[/tex] (che ti preannuncio sarà minore di [tex]0[/tex]) e trovi le soluzioni complesse e coniuguate. Te lo ricordi il metodo?

[budgoz]

Ehm..fino al delta ci arrivo..poi non è che ce l'abbia proprio chiaro..

[salvozungri]

Data l'equazione [tex]a x^2+bx+c=0[/tex] con [tex]a\ne 0[/tex]
Nel caso in cui [tex]\Delta<0[/tex] allora:
[tex]$x_1= \frac{-b- i \sqrt{-\Delta}}{2a}[/tex]
[tex]$x_2= \frac{-b+ i \sqrt{-\Delta}}{2a}[/tex]

Ora trova le radici con le formule che ti ho scritto, dopo continuiamo

[budgoz]

Wow assistenza in linea ma sei stipendiato??

vediamo se ho capito..

$ x1=(-2-i*sqrt(-24))/2 $

ci sono..?

[salvozungri]

"budgoz":Wow assistenza in linea ma sei stipendiato??

vediamo se ho capito..

$ x1= -2-i $ x1=(-2-i*sqrt(24))/2 $

ci sono..?

Non sono stipendiato, sono un appassionato però ignorante, quindi stai attento a quello che dico, controlla sempre e non fidarti mai!

Il discriminante è [tex]\Delta=4-20 = -16[/tex] di conseguenza [tex]\sqrt{-\Delta}= \sqrt{16}= 4[/tex]. Non capisco dove ti sia uscito quel [tex]\sqrt{24}[/tex]. Ti trovi?

[budgoz]

Perchè ho usato -5 -.-
Se ti senti ignorante tu puoi immaginare come mi stia sentendo io

[salvozungri]

Ok, allora facciamo così, scrivimi le due soluzioni tu, stando attento ai conti mi raccomando . Poi ti faccio vedere un metodo veloce per risolvere questo esercizio

[budgoz]

Ok

$x1=(-2-i*sqrt(-16))/2$

$x2=(-2+i*sqrt(-16))/2$

[salvozungri]

Riguarda il segno dentro la radice.

Ti avevo fatto notare che [tex]\Delta= -16[/tex] di conseguenza [tex]-\Delta= 16[/tex] e dunque [tex]\sqrt{-\Delta}= \sqrt{16}= 4[/tex], ti trovi? Nel caso non ti ritrovi, rileggi la discussione dall'inizio

Le due soluzioni sono quindi... TU!

[budgoz]

Ehm..ok posso andare a seppellirmi..scusami..

Quindi:

$ x1=-1-2i$

$x2=-1+2i $

[salvozungri]

Esatto!! Ora abbiamo le due radici e sappiamo scomporlo, ti ricordi come?

Ti ricordo che date le due radici [tex]x_1, x_2[/tex] del polinomio [tex]a x^2+bx+c[/tex], allora quest'ultimo si scompone come:

[tex]ax^2+bx+c= a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]. In questo caso [tex]a=1[/tex] mentre [tex]x_1, x_2[/tex] li hai appena determinati.... Quindi come concludiamo?

[budgoz]

$ (x+1+2i)(x+1-2i) $

..corretto..?

[salvozungri]

Corretto. Abbiamo quindi concluso che il nostro polinomio si scompone in [tex]\mathbb{C}[/tex] come:
[tex]x^2+2x+5= (x+1+2i)(x+1-2i)[/tex] e abbiamo finito. Spero sia chiaro .


La strada furba:

[tex]x^2+2x+5= x^2+2x+1+4 = (x+1)^2+4=[/tex]
[tex]=(x+1)^2-(-4)= (x+1+2 i)(x+1-2i)[/tex] dove ho sfruttato la la formula per la differenza di quadrati.

[budgoz]

Fantastico! Mi hai insegnato a farlo in pratica
Tengo buona la strada furba anche..grazie mille, davvero!