Scomposizione polinomi in C
Devo risolvere questa equazione complessa:
$(z+i)^2 = (\sqrt(3) + i)^3$
Svolgendo i conti giungo alla equazione (?) equivalente:
$z^2 + 2iz - (8i+1)=0$
Pensavo di scomporre il polinomio con Ruffini, ma non sono sicuro che si possa fare. Inoltre come si trovano i divisori di $8i-1$?
In alternativa pensavo di procedere come si procede sempre con le equazioni di secondo grado in R, cercando poi le 2 radici di $\Delta$.
In ogni caso il problema rimarrebbe per altre equazioni che ho messo da parte per il momento.
$(z+i)^2 = (\sqrt(3) + i)^3$
Svolgendo i conti giungo alla equazione (?) equivalente:
$z^2 + 2iz - (8i+1)=0$
Pensavo di scomporre il polinomio con Ruffini, ma non sono sicuro che si possa fare. Inoltre come si trovano i divisori di $8i-1$?
In alternativa pensavo di procedere come si procede sempre con le equazioni di secondo grado in R, cercando poi le 2 radici di $\Delta$.
In ogni caso il problema rimarrebbe per altre equazioni che ho messo da parte per il momento.
Risposte
Ciao universo,
Io farei così... Si trova:
$ z^2 + 2iz - (8i+1) = (z - z_1)(z - z_2) $
ove $z_1 = 2 + i $ e $z_2 = - 2 - 3i $
"universo":
In alternativa pensavo di procedere come si procede sempre con le equazioni di secondo grado in $\RR $, cercando poi le 2 radici di $\Delta $.
Io farei così... Si trova:
$ z^2 + 2iz - (8i+1) = (z - z_1)(z - z_2) $
ove $z_1 = 2 + i $ e $z_2 = - 2 - 3i $
Risolvila normalmente come un'equazione di secondo grado … (mi pare che ci sia un segno sbagliato)
Grazie, l'ho risolta e mi trovo con i risultati che coincidono con quelli del testo(il Giusti).Più in generale se ho un'equazione del tipo:
$z^6+z^5+z+c=0$
devo procedere con Ruffini?
$z^6+z^5+z+c=0$
devo procedere con Ruffini?
Se ci riesci, sì 
Il punto è che non ci riesco. Oltre a causare lunghi tediosi calcoli, già presenti di base quando si opera in C, sorge il problema di trovare i divisori del termine noto.
Di solito gli esercizi con i complessi non si risolvono con le tecniche solite delle "normali" equazioni ma vanno "studiate" per bene di volta in volta quindi eviterei di perdere troppo tempo con cose come questa ... se vedi velocemente che c'è una scomposizione possibile, ok, quella può essere la strada giusta, altrimenti lascia stare ...
Con i complessi occorre più fantasia ... comunque dopo averne fatti un (bel) po', l'occhio si affina ... 
Con i complessi occorre più fantasia
... comunque dopo averne fatti un (bel) po', l'occhio si affina ...
Rinnovo la richiesta sulla scomposizione di polinomi in campo complesso perché mi viene esplicitamente richiesto in un esercizio. Testo dell'esercizio:
"Sapendo che $1+i$ è radice del polinomio $z^4 - 5z^3+10z+4$ trovare le altre radici."
Io ho applicato subito Ruffini usando $1+i$ come divisore e ho trovato $(z-1-i)(z^3+(-4+i)z^2+(5-3i)z+(-2+2i)$. Ora come trovo i divisori del termine noto?
"Sapendo che $1+i$ è radice del polinomio $z^4 - 5z^3+10z+4$ trovare le altre radici."
Io ho applicato subito Ruffini usando $1+i$ come divisore e ho trovato $(z-1-i)(z^3+(-4+i)z^2+(5-3i)z+(-2+2i)$. Ora come trovo i divisori del termine noto?
Premesso che non ti viene chiesto esplicitamente di scomporre il polinomio ma di trovare le radici (se quello è il testo), quindi anche altri metodi andrebbero bene, ti faccio notare che, per esempio, anche $1$ e $2$ son divisori del termine noto (o anche $-1$ e $-2$)
EDIT: comunque, tu sei sicuro di quella divisione? Io ho qualche dubbio …
EDIT2: tra l'altro a me non risulta che $1+i$ sia una radice di quel polinomio … mentre $-1$ e $2$ lo sono
EDIT: comunque, tu sei sicuro di quella divisione? Io ho qualche dubbio …
EDIT2: tra l'altro a me non risulta che $1+i$ sia una radice di quel polinomio … mentre $-1$ e $2$ lo sono
Puoi usare il teorema che dice
In un polinomio a coefficienti reali, se $z_1=a+ib$ è una radice complessa, lo è anche la sua coniugata $z_2=a-ib$.
Nell'esercizio è chiaro che l'autore della discussione ha perso un pezzo e il testo corretto è
$ z^4 - 5z^3+10z^2-10z+4 $ che ha appunto come radice $1+i$ e, in virtù del teorema citato, anche $1-i$, poi resta un'equazione di secondo grado.
In un polinomio a coefficienti reali, se $z_1=a+ib$ è una radice complessa, lo è anche la sua coniugata $z_2=a-ib$.
Nell'esercizio è chiaro che l'autore della discussione ha perso un pezzo e il testo corretto è
$ z^4 - 5z^3+10z^2-10z+4 $ che ha appunto come radice $1+i$ e, in virtù del teorema citato, anche $1-i$, poi resta un'equazione di secondo grado.
@melia
... che mancasse qualcosa ne ero abbastanza sicuro ed anche che fosse il termine di secondo grado ma mi spieghi come hai trovato velocemente il suo coefficiente?
Mentre @universo ci spiega dove ha nascosto "il resto" della sua divisione
Cordialmente, Alex
... che mancasse qualcosa ne ero abbastanza sicuro ed anche che fosse il termine di secondo grado ma mi spieghi come hai trovato velocemente il suo coefficiente?
Mentre @universo ci spiega dove ha nascosto "il resto" della sua divisione
Cordialmente, Alex
Ho semplicemente cercato il polinomio divisibile per $z-1-i$ e per $z-1+i$, cioè divisibile per $z^2-2z+2$ con termine noto $4$.
Non credere che sia partita dalla divisione, ho eseguito il prodotto $(z^2-2z+2)*(z^2+bz+2)$ e ho visto che $b= -3$ faceva quadrare il termine di terzo grado, poi tutto il resto tornava tranne, appunto, il termine di secondo grado.
Non credere che sia partita dalla divisione, ho eseguito il prodotto $(z^2-2z+2)*(z^2+bz+2)$ e ho visto che $b= -3$ faceva quadrare il termine di terzo grado, poi tutto il resto tornava tranne, appunto, il termine di secondo grado.
@ amelia:
Mi aggiungo
Sì, confermo ciò che ha scritto @melia, mi sono scordato il termine di secondo grado. Ho anche scomposto usando $1-i$, ma in seguito mi trovo due polinomi di terzo grado (non facili) da scomporre. Quante radici ha un polinomio complesso di grado 4?
Fai come detto da @melia ... se vuoi fare il giro lungo prima dividi per $1+i$ e poi dividi il risultato (polinomio di terzo grado) per $1-i$; il risultato è un polinomio di secondo grado che risolvi come sai fare .
Altrimenti dividi subito per $(1+i)(1-i)$
Altrimenti dividi subito per $(1+i)(1-i)$
"universo":
mi sono scordato il termine di secondo grado.
Bravo. (è ironico
). La prossima volta, controlla bene il testo dell'esercizio, prima di postarlo. Sei stato fortunato a trovare una professoressa bravissima come @melia, che addirittura è riuscita a risalire alla traccia corretta. Ma se non fosse stato per lei, avresti solo fatto fare conti inutili alla gente.
Peccato che non posso più correggere il primo messaggio. Comunque le soluzioni sono $z-1, z-2, z-(1+i), z-(1-i)$.
Quelle non sono le soluzioni
Sì, le radici sono $1,2,1-i, 1+i$.Quelli scritti sopra sono i binomi.
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