Scomposizione integrali

[emaz92]

mi sapreste dire come si scompongono questi due integrali? non riesco, mi interessa solo la scomposizione $int1/(x^6+1)dx$ e $int1/(x^8+1)dx$

[emaz92]

quello con $x^6+1$ l' ho fatto , manca solo l' altro

[Rigel1]

$x^8+1 = (x^8+2x^4+1) - 2x^4 = (x^4+1)^2 - 2x^4 = ...$
e poi puoi ragionare analogamente per i due fattori di quarto grado che saltano fuori.
In alternativa, puoi tenere conto del fatto che gli zeri (complessi) del polinomi $x^8+1$ sono le otto radici ottave di $-1$.

[emaz92]

"Rigel":$x^8+1 = (x^8+2x^4+1) - 2x^4 = (x^4+1)^2 - 2x^4 = ...$
e poi puoi ragionare analogamente per i due fattori di quarto grado che saltano fuori.
In alternativa, puoi tenere conto del fatto che gli zeri (complessi) del polinomi $x^8+1$ sono le otto radici ottave di $-1$.

bene grazie questo è fatto. Sapresti dirmi qualcosa anche sulla scomposizione di questo? $int1/(x^7+1)dx$ e del perchè questo $int1/(x^5+11x+1)dx$ abbia un risultato così strano su alpha? forse non tutti gli integrali razionali sono risolvibili con funzioni elementari?

[Rigel1]

Per il primo mi sa che ti devi rifare alle radici settime di $-1$ in campo complesso; una di esse è ovviamente $-1$.
Per il secondo mi sembra che wolframalpha dica solo che non è in grado di trovare (in forma esatta) gli zeri del polinomio a denominatore.

Riguardo l'ultima domanda: sì, le primitive di qualsiasi funzione razionale sono funzioni elementari.

[emaz92]

"Rigel":Per il primo mi sa che ti devi rifare alle radici settime di $-1$ in campo complesso; una di esse è ovviamente $-1$.
Per il secondo mi sembra che wolframalpha dica solo che non è in grado di trovare (in forma esatta) gli zeri del polinomio a denominatore.

Riguardo l'ultima domanda: sì, le primitive di qualsiasi funzione razionale sono funzioni elementari.

grazie della risposta. Ho dei dubbi: 1) $int1/(x^7+1)dx$ questo integrale si può fare senza i complessi?
2) il fatto che alpha non trovi gli zeri in forma esatta li esprime proprio per quel motivo con la 'rootsum'? ma sarebbe possibile calcolare l' integrale senza usare alpha?

[Pdirac]

Probabilmente l'incapacità di Wolfram di trovare le soluzioni esatte nasce dal fatto che per farlo servirebbe un algoritmo per la risoluzione di equazioni di grado superiore al quarto (in quei casi), che non esiste. L'inesistenza dell'algoritmo non implica che sia impossibile trovarle, ma certo non è banale (né avrei alcuna idea di come farlo). Considera comunque che già al quarto grado le soluzioni possono essere, per così dire, spaventose! (vedi http://www.wolframalpha.com/input/?i=3x^4+%2B+2x^3+-4x+%2B1+%3D+0 visualizzando le soluzioni in forma esatta)