Scomposizione in fratti semplici di una funzione razionale

[lars1]

Salve,
sul mio libro, sotto alcuni esercizi sulle serie c'è il seguente suggerimento:
Si prova che se $x^2+bx+c$ è un polinomio di secondo grado avente due radici reali e distinte, $alpha,beta$, allora esistono e sono univocamente determinate due costanti A e B tali che:
$1/(x^2+bx+c)=A/(x-alpha)+B/(x-beta)$

Ora io mi chiedo: come posso fare a calcolare le costanti A e B?? Non sto riuscendo proprio ad arrivarci.
Spero mi possiate aiutare.

[_nicola de rosa]

"lars":Salve,
sul mio libro, sotto alcuni esercizi sulle serie c'è il seguente suggerimento:
Si prova che se $x^2+bx+c$ è un polinomio di secondo grado avente due radici reali e distinte, $alpha,beta$, allora esistono e sono univocamente determinate due costanti A e B tali che:
$1/(x^2+bx+c)=A/(x-alpha)+B/(x-beta)$

Ora io mi chiedo: come posso fare a calcolare le costanti A e B?? Non sto riuscendo proprio ad arrivarci.
Spero mi possiate aiutare.

Se $b^2-4c>0$ allora le due radici sono reali e distinte e si può scrivere $x^2+bx+c=(x-alpha)(x-beta)$.
Ora bisogna trovare $A,B in RR$ tale che $1/(x^2+bx+c)=A/(x-alpha)+B/(x-beta)$. Basta fare il minimo comune multiplo e si ha:
$1=(x-beta)A+(x-alpha)B$ cioè $x(A+B)-A*beta-B*alpha=1$ e per il principio di identità dei polinomi deve aversi
${(A+B=0),(-A*beta-B*alpha=1):}$ da cui ${(A=1/(alpha-beta)),(B=-A=1/(beta-alpha)):}$

[elgiovo]

Nel caso generale, quando vuoi scomporre in frazioni parziali un rapporto tra due funzioni polinomiali $P(x)$ e $Q(x)$, di grado rispettivo $m$ ed $n$, agisci così:
$(P(x))/(Q(x))=A_1/(x-r_1)+ldots+A_i/(x-r_i)+ldots+A_n/(x-r_n)$, dove $r_i$ è la $i$-esima radice (in generale complessa) di $Q(x)$;
$(P(x)(x-r_i))/(Q(x))=(A_1(x-r_i))/(x-r_1)+ldots+(A_(i-1)(x-r_i))/(x-r_(i-1))+(A_(i+1)(x-r_i))/(x-r_(i+1))+ldots+(A_n(x-r_i))/(x-r_n)+A_i$.
Passando al limite per $x rightarrow r_i$, al secondo membro rimane solo $A_i$:
$lim_(xrightarrow r_i)(P(x)(x-r_i))/(Q(x))=A_i$;
$A_i=lim_(xrightarrow r_i)(P(x))/((Q(x)-Q(r_i))/(x-r_i))$, dove ho portato $x-r_i$ sotto $Q(x)$ e a $Q(x)$ ho sottratto $Q(r_i)$, lecitissimo perchè fa $0$; onde per cui
$A_i=(P(x_i))/(Q'(x_i))$, quindi per trovare i coefficienti delle frazioni parziali non devi far altro che calcolarti una derivata.

Ciao!