Scomposizione in fratti semplici
Salve, imparando a risolvere gli integrali mi sono imbattuto in questo metodo devo dire molto utile.. solo una piccola curiosità:
Se ho:
$p(x) = a/(x^3+8)$ lo posso ovviamente scrivere in molti modi diversi no?
Ad esempio si possono trovare degli $A$, $B$ e $C$ tali che $p(x) = A/(x+2) + (Bx+C)/(x^2-2x+4)$, ma potrei anche ad esempio scrivere $p(x) = A/x + B/(x+2) + (Cx+D)/x^2-2x+4$.
Sarei fesso io a fare una cosa del genere, dato ciò che ottengo è solo incasinare un po' i calcoli (avendo un sistema di quattro equazioni in quattro incognite stavolta?)
Inoltre ho notato che ovviamente posso anche dire $p(x) = A/(x+2) + (Bx^2+Cx+D)/(x^2-2x+4)$, tanto la B si annulla subito e ricado nella situazione del primo caso (ovvero praticamente sistema di tre equazioni in tre incognite).
Ne approfitto per postare la risoluzione di un integrale di cui non sono totalmente sicuro:
$int log(x^3+8) dx$
Integrando per parti
$ = xlog(x^3+8)-int (3x^3)/(x^3+8) dx$
Aggiungo e sottraggo 7 al nominatore dell'integrale rimasto (dopo aver messo il $3$ in evidenza) considerando che $(x^3+7)/(x^3+8) = 1-1/(x^3+8)$
$ = xlog(x^3+8)-3(int (1-1/(x^3+8))dx - 7int dx/(x^3+8)) = xlog(x^3+8) - 3x +24int dx/(x^3+8)$
Con il metodo dei fratti semplici trovo che $24/(x^3+8) = 3/(x+2) + (12-3x)/(x^2-2x+4)$
Insomma continuando un po' trovo che (salvo ulteriori errori di calcolo... l'ho rifatto ora un po' distrattamente) alla fin fine il risultato dovrebbe essere:
$xlog(x^3+8) -3x +3log|x+2| +9/sqrt(3) arctan((x-1)/sqrt(3)) - 3/2 log(x^2-2x+4) +c$
Non c'è un metodo per verificarlo? Magari qualche applicazione online?
Prima mi era uscito invece
$xlog(x^3+8) -3x +9/4 log|x+2| +8/sqrt(3) arctan((x-1)/sqrt(3)) - 9/8 log(x^2-2x+4) +c$
Mi ero preso pure la briga di fare la derivata, ma mi sono ritrovato con un $log(x^3+8) -3/4((x+6)/(x^3+8))$
E sul procedimento cosa mi dite? E' corretto? L'avreste svolto in un altro modo?
[*] Scrivendo i passaggi ho trovato l'errore! Avevo commesso uno stupido errore di segno, facendo diventare quell'24 un 18! Praticamente nella parentesi anziché aggiungere ho sottratto 1, che moltiplicato per il 3 che era in evidenza ha fatto uscire un 18! Ecco perché la derivata non usciva...
Se ho:
$p(x) = a/(x^3+8)$ lo posso ovviamente scrivere in molti modi diversi no?
Ad esempio si possono trovare degli $A$, $B$ e $C$ tali che $p(x) = A/(x+2) + (Bx+C)/(x^2-2x+4)$, ma potrei anche ad esempio scrivere $p(x) = A/x + B/(x+2) + (Cx+D)/x^2-2x+4$.
Sarei fesso io a fare una cosa del genere, dato ciò che ottengo è solo incasinare un po' i calcoli (avendo un sistema di quattro equazioni in quattro incognite stavolta?)
Inoltre ho notato che ovviamente posso anche dire $p(x) = A/(x+2) + (Bx^2+Cx+D)/(x^2-2x+4)$, tanto la B si annulla subito e ricado nella situazione del primo caso (ovvero praticamente sistema di tre equazioni in tre incognite).
Ne approfitto per postare la risoluzione di un integrale di cui non sono totalmente sicuro:
$int log(x^3+8) dx$
Integrando per parti
$ = xlog(x^3+8)-int (3x^3)/(x^3+8) dx$
Aggiungo e sottraggo 7 al nominatore dell'integrale rimasto (dopo aver messo il $3$ in evidenza) considerando che $(x^3+7)/(x^3+8) = 1-1/(x^3+8)$
$ = xlog(x^3+8)-3(int (1-1/(x^3+8))dx - 7int dx/(x^3+8)) = xlog(x^3+8) - 3x +24int dx/(x^3+8)$
Con il metodo dei fratti semplici trovo che $24/(x^3+8) = 3/(x+2) + (12-3x)/(x^2-2x+4)$
Insomma continuando un po' trovo che (salvo ulteriori errori di calcolo... l'ho rifatto ora un po' distrattamente) alla fin fine il risultato dovrebbe essere:
$xlog(x^3+8) -3x +3log|x+2| +9/sqrt(3) arctan((x-1)/sqrt(3)) - 3/2 log(x^2-2x+4) +c$
Non c'è un metodo per verificarlo? Magari qualche applicazione online?
Prima mi era uscito invece
$xlog(x^3+8) -3x +9/4 log|x+2| +8/sqrt(3) arctan((x-1)/sqrt(3)) - 9/8 log(x^2-2x+4) +c$
Mi ero preso pure la briga di fare la derivata, ma mi sono ritrovato con un $log(x^3+8) -3/4((x+6)/(x^3+8))$
E sul procedimento cosa mi dite? E' corretto? L'avreste svolto in un altro modo?
[*] Scrivendo i passaggi ho trovato l'errore! Avevo commesso uno stupido errore di segno, facendo diventare quell'24 un 18! Praticamente nella parentesi anziché aggiungere ho sottratto 1, che moltiplicato per il 3 che era in evidenza ha fatto uscire un 18! Ecco perché la derivata non usciva...
Risposte
"The_Mad_Hatter":Finché non fai i conti non lo puoi dire!
...Inoltre ho notato che ovviamente posso anche dire $p(x) = A/(x+2) + (Bx^2+Cx+D)/(x^2-2x+4)$, tanto la B si annulla subito e ricado nella situazione del primo caso (ovvero praticamente sistema di tre equazioni in tre incognite)...
Il resto non l'ho controllato, vedrò più tardi.
"j18eos":Finché non fai i conti non lo puoi dire!
[quote="The_Mad_Hatter"]...Inoltre ho notato che ovviamente posso anche dire $p(x) = A/(x+2) + (Bx^2+Cx+D)/(x^2-2x+4)$, tanto la B si annulla subito e ricado nella situazione del primo caso (ovvero praticamente sistema di tre equazioni in tre incognite)...
Il resto non l'ho controllato, vedrò più tardi.[/quote]
Beh, infatti non l'avrei detto
Ma comunque è abbastanza immediato no?
viene come prima equazione (il coefficiente di $x^3$) $B=0$ e a meno del nome della variabile le restanti equazioni sono identiche al primo caso
)
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