Scomposizione in fratti semplici ?

[vincenzoj]

Integrale di [(x+3)/x²-4x+5)]dx

Sto cercando di risolvere questo integrale con il metodo dei fratti semplici. Tuttavia non riesco a scomporre il denominatore, e non è neppure un quadrato di binomio, quindi non sò cosa mettere ai denominatori di A, B e C.
Come potrei fare ?

[mic999]

Hai controllato di aver copiato correttamente il testo?
Altrimenti prova a togliere e sommare 4 a denominatore..così ottieni un quadrato di un binomio e dovresti essere capace di andare avanti...

[vincenzoj]

Si, il testo è corretto. Potresti scrivermi solo questo passaggio ?

[mic999]

$x^2-4x+5=x^2-4x+4-4+5=(x- 2)^2 +1$

[vincenzoj]

Ma quindi verrebbe A/[(x-2)+1] + B/[(x-2)²+1]

[pilloeffe]

Ciao simonerusso64,

Farei così:

$int (x+3)/(x^2-4x+5) dx = frac{1}{2} int frac{2x + 6}{x^2-4x+5} dx = frac{1}{2} int frac{2x - 4 + 10}{x^2-4x+5} dx = $
$ = frac{1}{2} int frac{2x - 4}{x^2-4x+5} dx + 5 int frac{dx}{x^2-4x+5} = frac{1}{2} ln(x^2-4x+5) + 5 int frac{dx}{x^2-4x+5} $

A questo punto per l'ultimo integrale farei buon uso del suggerimento di mic999, ottenendo così

$int (x+3)/(x^2-4x+5) dx = frac{1}{2} ln(x^2-4x+5) + 5 int frac{dx}{(x - 2)^2+1} $

Posto $t := x - 2 \implies dt = dx $, si ha:

$int (x+3)/(x^2-4x+5) dx = frac{1}{2} ln(x^2-4x+5) + 5 int frac{dx}{(x - 2)^2+1} = frac{1}{2} ln(x^2-4x+5) + 5 int frac{dt}{t^2+1} = $
$ = frac{1}{2} ln(x^2-4x+5) + 5 arctan t + c = frac{1}{2} ln(x^2-4x+5) + 5 arctan(x - 2) + c$

In definitiva si ha:

[tex]\begin{equation}
\boxed{\int \frac{x + 3}{x^2-4x+5} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2-4x+5) + 5\arctan(x - 2) + c}
\end{equation}[/tex]