Scomposizione in fratti semplici

[Sessa93]

Ciao a tutti,
Devo scomporre:

$ 1/((1+x^2)^2) $

Io inizierei cosí:

$ (Ax + B)/((1 + x^2)^2) + (Bx + C)/(1 + x^2) $

Ma il sistema che ottengo è impossibile!

[Gi81]

Non deve esserci $B$ in entrambe le frazioni:
la scrittura corretta è $1/((1+x^2)^2)= (Ax+B)/((1+x^2)^2)+(Cx+D)/(1+x^2)$, con $A,B,C,D in RR$ da determinare.

Il problema è che facendo i conti ti viene $A=C=D=0$ e $B=1$, cioè ottieni $1/((1+x^2)^2)=1/((1+x^2)^2)$.
Perchè questo? Perchè la frazione di partenza è già scomposta in fratti semplici.

[Sessa93]

Errore stupido grazie!

[Gi81]

Ma devi per caso risolvere \( \displaystyle \int \frac{1}{(1+x^2)^2} \text{d}x\)?

[Sessa93]

Proprio cosí

[Sessa93]

Risolto tutto ponendo $ x = tg(t) $

[ciampax]

Giusto per completezza: gli integrali di questo tipo vengono fuori per ricorsione. Infatti, se indichiamo con $I_n=\int\frac{dx}{(1+x^2)^n},\ n\ge 2$ possiamo integrare per parti ottenendo
$$I_n=\int\frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^n}\ dx=\int\frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}-\int\frac{x}{2}\cdot\frac{2x}{(1+x^2)^n}\ dx=\\ I_{n-1}-\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{(-n+1)(1+x^2)^{n-1}}-\frac{1}{2(n-1)}\int\frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}$$
ottenendo in definitiva
$$I_n=\frac{2n-3}{2(n-1)}\ I_{n-1}+\frac{x}{2(n-1)(1+x^2)^{n-1}}$$
Utilizzando il fatto che $I_0=\int dx=x,\quad I_1=\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+c$, si può ricavare il valore di tale integrale per ogni $n\ge 2$ (osserva che la formula sopra non funziona con $n=1$.)

[gugo82]

Gli integrali indefiniti di integrandi del tipo:
\[
f_n(x):=\frac{1}{(1+x^2)^n}
\]
si possono anche calcolare per parti.
Invero, si ha:
\[
\begin{split}
I_0 &= x +C\\
I_1 &= \arctan x+ C
\end{split}
\]
e per \(n\geq 2\) si ha:
\[
\begin{split}
I_n &= \int \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^n}\ \text{d} x\\
&= I_{n-1} - \int \frac{x}{(1+x^2)^n}\ x\ \text{d} x\\
&= I_{n-1} - \int x\ \text{d} \left( -\frac{1}{2(n-1)}\ \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\right)\\
&= I_{n-1} + \frac{1}{2(n-1)}\ \frac{x}{(1+x^2)^{n-1}} - \frac{1}{2(n-1)}\ \int \frac{1}{(1+x^2)^{n-1}}\ \text{d} x\; ,
\end{split}
\]
ossia:
\[
I_n = = \frac{1}{2(n-1)}\ \frac{x}{(1+x^2)^{n-1}} + \frac{2(n-1)-1}{2(n-1)}\ I_{n-1}\; ,
\]
che è una formula di ricorrenza per il calcolo di ogni integrale del tipo \(I_n:=\int f_n(x)\text{d} x\).


@ ciampax: Ruoli invertiti stavolta...

[ciampax]

No te preocupe, è sempre un piacere (e tra l'altro, mi sto scrivendo una formula chiusa usando le funzioni generatrici... magari se ho voglia poi la posto!)