Scomposizione in fratti semplici
Ciao a tutti e buon natale a tutti! 
Sto cercando di imparare a integrare con il metodo della scomposizione in fratti semplici.
I casi più semplici riesco a gestirli ma appena il denominatore risulta più complicato da fattorizzare non capisco come fare.
Ad esempio questo integrale mi è chiaro
$ int_()^() (8x +1)/(x^2 +x -2) dx $
in quanto il denominatore è uguale a $ (x-1)(x+2) $ e quindi dato che sono fattori di prima grado a numeratore andranno solo le costanti A B
$ A/(x-1) + B/(x+2) = (8x + 1)/(x^2 + x - 2) $
Poi da qui in poi non ho problemi, basta fare il sistema per trovare le costanti ed il gioco è fatto.
Tuttavia facendo altri esercizi mi ritrovo con questo integrale:
$ int_()^() (6x^3 +8x^2 +16x +6)/(x^2(x^2 +4x +6)) dx $
che il mio libro fattorizza in questo modo:
$ A/x + B/x^2 + (Dx + E)/(x^2 +4x +6) $
Ma non riesco proprio a capire come ci sia arrivato
Oppure ad esempio c'è anche questo che non mi è chiaro:
$ int_()^() 1/(x^2(x^2 + 2)) dx $
Scusate se sono un generico ma non ho capito il metodo che c'è dietro...
Grazie e ancora buone feste a tutti!
Sto cercando di imparare a integrare con il metodo della scomposizione in fratti semplici.
I casi più semplici riesco a gestirli ma appena il denominatore risulta più complicato da fattorizzare non capisco come fare.
Ad esempio questo integrale mi è chiaro
$ int_()^() (8x +1)/(x^2 +x -2) dx $
in quanto il denominatore è uguale a $ (x-1)(x+2) $ e quindi dato che sono fattori di prima grado a numeratore andranno solo le costanti A B
$ A/(x-1) + B/(x+2) = (8x + 1)/(x^2 + x - 2) $
Poi da qui in poi non ho problemi, basta fare il sistema per trovare le costanti ed il gioco è fatto.
Tuttavia facendo altri esercizi mi ritrovo con questo integrale:
$ int_()^() (6x^3 +8x^2 +16x +6)/(x^2(x^2 +4x +6)) dx $
che il mio libro fattorizza in questo modo:
$ A/x + B/x^2 + (Dx + E)/(x^2 +4x +6) $
Ma non riesco proprio a capire come ci sia arrivato
Oppure ad esempio c'è anche questo che non mi è chiaro:
$ int_()^() 1/(x^2(x^2 + 2)) dx $
Scusate se sono un generico ma non ho capito il metodo che c'è dietro...
Grazie e ancora buone feste a tutti!
Risposte
La scomposizione in fratti semplici funziona così.
Se la fattorizzazione del denominatore contiene una potenza di un polinomio di primo grado, cioé qualcosa del tipo \((x-x_0)^\mu\) con \(\mu\) intero e \(\geq 1\), allora nella scomposizione in fratti vanno inserite tutte le potenze negative di \(x-x_0\) fino all'esponente \(-\mu\) compreso, cioé vanno inseriti gli addendi:
\[
\frac{A_1}{x-x_0},\ \frac{A_2}{(x-x_0)^2},\ \frac{A_3}{(x-x_0)^3},\ \ldots , \frac{A_\mu}{(x-x_0)^\mu}\; .
\]
Parimenti se nella fattorizzazione è presente una potenza di un polinomio di secondo grado con discriminante negativo, cioé qualcosa tipo \((ax^2+bx+c)^\nu\) con \(\Delta =b^2-4ac<0\) e \(\nu\) intero e \(\geq 1\), allora nella scomposizione vanno inserite tutte le potenze negative di \(ax^2+bx+c\) fino all'esponente \(-\nu\) compreso, ossia:
\[
\frac{B_1x+C_1}{ax^2 +bx+c},\ \frac{B_2x+C_2}{(ax^2+bx+c)^2},\ \frac{B_3x+C_3}{(ax^2+bx+c)^3},\ \ldots , \frac{B_\nu x+C_\nu}{(ax^2+bx+c)^\nu}\; .
\]
Ad esempio, la scomposizione in fratti semplici di una funzione razionale del tipo:
\[
\frac{x+2}{x^4 (x^2+x+1)^3}
\]
è del tipo:
\[
\frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x^2} + \frac{A_3}{x^3} + \frac{A_4}{x^4} + \frac{B_1x+C_1}{x^2 +x+1} + \frac{B_2x+C_2}{(x^2+x+1)^2} + \frac{B_3x+C_3}{(x^2+x+1)^3}\; .
\]
Se la fattorizzazione del denominatore contiene una potenza di un polinomio di primo grado, cioé qualcosa del tipo \((x-x_0)^\mu\) con \(\mu\) intero e \(\geq 1\), allora nella scomposizione in fratti vanno inserite tutte le potenze negative di \(x-x_0\) fino all'esponente \(-\mu\) compreso, cioé vanno inseriti gli addendi:
\[
\frac{A_1}{x-x_0},\ \frac{A_2}{(x-x_0)^2},\ \frac{A_3}{(x-x_0)^3},\ \ldots , \frac{A_\mu}{(x-x_0)^\mu}\; .
\]
Parimenti se nella fattorizzazione è presente una potenza di un polinomio di secondo grado con discriminante negativo, cioé qualcosa tipo \((ax^2+bx+c)^\nu\) con \(\Delta =b^2-4ac<0\) e \(\nu\) intero e \(\geq 1\), allora nella scomposizione vanno inserite tutte le potenze negative di \(ax^2+bx+c\) fino all'esponente \(-\nu\) compreso, ossia:
\[
\frac{B_1x+C_1}{ax^2 +bx+c},\ \frac{B_2x+C_2}{(ax^2+bx+c)^2},\ \frac{B_3x+C_3}{(ax^2+bx+c)^3},\ \ldots , \frac{B_\nu x+C_\nu}{(ax^2+bx+c)^\nu}\; .
\]
Ad esempio, la scomposizione in fratti semplici di una funzione razionale del tipo:
\[
\frac{x+2}{x^4 (x^2+x+1)^3}
\]
è del tipo:
\[
\frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x^2} + \frac{A_3}{x^3} + \frac{A_4}{x^4} + \frac{B_1x+C_1}{x^2 +x+1} + \frac{B_2x+C_2}{(x^2+x+1)^2} + \frac{B_3x+C_3}{(x^2+x+1)^3}\; .
\]
Grazie grazie grazie finalmente ho capito. Sei stato chiarissimo (a differenza del mio libro)
Buone feste
finalmente ho capito. Sei stato chiarissimo (a differenza del mio libro)Buone feste
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