Scomposizione in fratti con residui
Vorrei sapere dove commetto errore quando provo a scomporre questa funzione \(\displaystyle Y(s)=\frac{1}{(s^2+1)(s-\pi)} \) allora i punti singolari sono: \(\displaystyle s_0 = i, s_1=-i, s_2 = \pi \), che sono rispettivamente due poli complessi del primo ordine, e un polo reale sempre di primo ordine, ora so che il polinomio \(\displaystyle s^2+1 \) è irriducibile sui reali e che quindi presenterà due radici complesse coniugate \(\displaystyle s_0 = \sigma_0+i\varsigma_0\)quindi procedo scomponendo così:
\(\displaystyle Y(s) = 2\frac{A(s-\sigma_0)-B\varsigma_0)}{(s-\sigma_0)^2+\varsigma_0^2}+\frac{C}{s-\pi} \), nel mio caso ho che \(\displaystyle \sigma_0 = 0 \) e \(\displaystyle \varsigma_0 = 1 \), quindi avrò :
\(\displaystyle Y(s) = 2\frac{A(s-\sigma_0)-B\varsigma_0)}{(s-\sigma_0)^2+\varsigma_0^2}+\frac{C}{s-\pi} = 2\frac{As-B}{s^2+1}+\frac{C}{s-\pi}\), adesso:
\(\displaystyle 2(As-B) = 2Res(Y(s),i) = 2lim_{s\to i}\frac{1}{(s+i)(s-\pi)}= 2\frac{1}{2i(i-\pi)}=\frac{1}{-1-i\pi}\), e qui ho qualche problemino, innanzitutto qual'è la parte reale? E quale quella immaginaria? Non riesco a stabilirlo bene in quanto la i è a denominatore.
\(\displaystyle Y(s) = 2\frac{A(s-\sigma_0)-B\varsigma_0)}{(s-\sigma_0)^2+\varsigma_0^2}+\frac{C}{s-\pi} \), nel mio caso ho che \(\displaystyle \sigma_0 = 0 \) e \(\displaystyle \varsigma_0 = 1 \), quindi avrò :
\(\displaystyle Y(s) = 2\frac{A(s-\sigma_0)-B\varsigma_0)}{(s-\sigma_0)^2+\varsigma_0^2}+\frac{C}{s-\pi} = 2\frac{As-B}{s^2+1}+\frac{C}{s-\pi}\), adesso:
\(\displaystyle 2(As-B) = 2Res(Y(s),i) = 2lim_{s\to i}\frac{1}{(s+i)(s-\pi)}= 2\frac{1}{2i(i-\pi)}=\frac{1}{-1-i\pi}\), e qui ho qualche problemino, innanzitutto qual'è la parte reale? E quale quella immaginaria? Non riesco a stabilirlo bene in quanto la i è a denominatore.
Risposte
Razionalizza quel \(\frac{1}{-1-\imath\ \pi}\)... 
ok, razionalizzando mi viene \(\displaystyle \frac{-1+\pi i}{1+\pi} \), ora so qual'è la parte reale e quale quella immaginaria, escludo i passaggi di come sono arrivato a trovare C, che comunque è \(\displaystyle C =\frac{1}{\pi^2+1} \), quello che non capisco è perchè il risultato che ho è \(\displaystyle \frac{1}{\pi^2+1}(-cost-\pi sent+e^{\pi t}) \) , dal momento che solo C viene moltiplicato per \(\displaystyle \frac{1}{\pi^2+1} \), perchè raccoglie in questo modo?, tra l'altro se uso i fratti semplici mettendo a sistema le costanti il risultato mi viene lo stesso del libro dove sbaglio?
Qualcuno che mi risolve questo dubbio per piacere...
vi prego ho l'esame oggi chi mi mostra l'errore
Nella speranza che non sia troppo tardi:
$[Y(s)=1/((s^2+1)(s-pi))] rarr [Y(s)=1/((s+i)(s-i)(s-pi))] rarr [Y(s)=A/(s+i)+B/(s-i)+C/(s-pi)]$
$A=lim_(s->-i)[(s+i)*1/((s^2+1)(s-pi))]=lim_(s->-i)[(s+i)*1/((s+i)(s-i)(s-pi))]=lim_(s->-i)[1/((s-i)(s-pi))]=$
$=1/(2i(pi+i))=(-1-pii)/(2(pi^2+1))$
$B=lim_(s->i)[(s-i)*1/((s^2+1)(s-pi))]=lim_(s->i)[(s-i)*1/((s+i)(s-i)(s-pi))]=lim_(s->i)[1/((s+i)(s-pi))]=$
$=1/(2i(-pi+i))=(-1+pii)/(2(pi^2+1))$
$C=lim_(s->pi)[(s-pi)*1/((s^2+1)(s-pi))]=lim_(s->pi)[(s-pi)*1/((s+i)(s-i)(s-pi))]=lim_(s->pi)[1/((s+i)(s-i))]=$
$=1/(pi^2+1)$
$[Y(s)=1/((s^2+1)(s-pi))] rarr [Y(s)=(-1-pii)/(2(pi^2+1))*1/(s+i)+(-1+pii)/(2(pi^2+1))*1/(s-i)+1/(pi^2+1)*1/(s-pi)]$
$[Y(s)=1/((s^2+1)(s-pi))] rarr [Y(s)=1/((s+i)(s-i)(s-pi))] rarr [Y(s)=A/(s+i)+B/(s-i)+C/(s-pi)]$
$A=lim_(s->-i)[(s+i)*1/((s^2+1)(s-pi))]=lim_(s->-i)[(s+i)*1/((s+i)(s-i)(s-pi))]=lim_(s->-i)[1/((s-i)(s-pi))]=$
$=1/(2i(pi+i))=(-1-pii)/(2(pi^2+1))$
$B=lim_(s->i)[(s-i)*1/((s^2+1)(s-pi))]=lim_(s->i)[(s-i)*1/((s+i)(s-i)(s-pi))]=lim_(s->i)[1/((s+i)(s-pi))]=$
$=1/(2i(-pi+i))=(-1+pii)/(2(pi^2+1))$
$C=lim_(s->pi)[(s-pi)*1/((s^2+1)(s-pi))]=lim_(s->pi)[(s-pi)*1/((s+i)(s-i)(s-pi))]=lim_(s->pi)[1/((s+i)(s-i))]=$
$=1/(pi^2+1)$
$[Y(s)=1/((s^2+1)(s-pi))] rarr [Y(s)=(-1-pii)/(2(pi^2+1))*1/(s+i)+(-1+pii)/(2(pi^2+1))*1/(s-i)+1/(pi^2+1)*1/(s-pi)]$
non è mai troppo tardi per un chiarimento grazie...
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