Scomposizione di un integrale

[stositoobbligalamiaregistrazione]

Ragazzi salve, in questi giorni vi sto bombardando e mi dispiace per questo (pilloeffe santo subito).

Guardate un po' ho un anuova domanda , sapreste dirmi come ha fatto a scomporre così?



Una mezza idea l'avrei, però in realtà vi chiedo, c'è forse un metodo (il prof fa spesso così), o nasce da un semplice ragionamento (come penso io)?

[mic999]

Principio di identità dei polinomi una volta che manipolando l'espressione trovi che il grado del numeratore è < del grado del denominatore (qui sotto ti riporto un accenno di soluzione).
oppure puoi risolverlo più semplicemente aggiungendo e togliendo a numeratore $2x$ e $1$ in questo modo:
(ti scrivo l'integrale indefinito)
$int {x^2-x+2x-2x+1-1}/{(x+1)^2} dx= int {x^2+2x+1 -x-2x-1}/{(x+1)^2} dx= int {(x+1)^2 -3x-1}/{(x+1)^2} dx=$
$int 1 dx -int {3x}/{x^2+2x+1}dx -int(x+1)^{-2} dx$

da qui l'integrale è semplice...

[Magma1]

È il metodo della decomposizione in fratti semplici:
data la frazione $(P(x))/(Q(x))$, quando il grado di $P(x)$ è minore di $Q(x)$ la frazione si può riscrivere in fratti semplici.

Si distinguono in genere $4$ cas in base alle radici del polinomio $Q(x)$:

$1.$ Radici reali e semplici:

$(hx+k)/((x-alpha)(x-beta))=A/((x-alpha))+B/((x-beta))$

$2.$ Radici reali e alcuni con molteplicità maggiore di $1$:

$(hx+k)/((x-alpha)(x-beta)^n)=A/((x-alpha))+B/((x-beta))+C/(x-beta)^2...+R/(x-beta)^n$

$3.$ Radici reali (semplici o meno) e complessi coniugati semplici:

$(hx+k)/((x-alpha)(x^2+beta)^n)=A/((x-alpha))+(Bx)/((x^2+beta))+C/((x^2+beta))$

$4.$ Radici reali e complessi coniugati con molteplicità maggiori di $1$: questo non lo riporto perché è raro che capiti.

Infine le costanti $A,B,C,...$ si determinano in base al principio di identità dei polinomi.

Buon divertimento!

[mic999]

Esattamente!!
${x^2-x}/{(x+1)^2}={x^2-x+2x-2x+1-1}/{(x+1)^2}={x^2+2x+1}/{(x+1)^2}+{-3x-1}/{(x+1)^2}=1-{3x+1}/{(x+1)^2}$
a questo punto applichi l'identità dei polinomi a ${3x-1}/{(x+1)^2}$ trovando i parametri $A$ e $B$:
$A/{(x+1)}+B/{(x+1)^2}={Ax+(A+B)}/{(x+1)^2}$
Poni: $A=3$ e $A+B=1$ e ti trovi quell'espressione...

[seb1]

Ancor più diretto secondo lo stesso procedimento:\[\frac{3x+1}{(x+1)^2}=3\frac{x+1-{}^2\!/\!_3}{(x+1)^2}=3(x+1)^{-1}-2(x+1)^{-2}\]