Scomposizione di Hermite
Buongiorno a tutti. 
Sono nuovo nel Forum e spero di aver scritto nella sezione giusta
Da un pò di giorni sto cercando di risolvere un integrale di una funzione razionale fratta e il mio problema è a monte: la decomposizione in fratti semplici tramite formula di Hermite.
Questa è la funzione: $1/(x^3(x-4)) $
Una volta capito come decomporre l'integrale è banale, ma mi sono fermato prima con questo problema.
Se qualcuno riuscisse a spiegarmi come fare mi aiuterebbe molto.
Grazie in anticipo!
Sono nuovo nel Forum e spero di aver scritto nella sezione giusta
Da un pò di giorni sto cercando di risolvere un integrale di una funzione razionale fratta e il mio problema è a monte: la decomposizione in fratti semplici tramite formula di Hermite.
Questa è la funzione: $1/(x^3(x-4)) $
Una volta capito come decomporre l'integrale è banale, ma mi sono fermato prima con questo problema.
Se qualcuno riuscisse a spiegarmi come fare mi aiuterebbe molto.
Grazie in anticipo!
Risposte
Sì, TeM, tutto giusto... Ma quella non è la formula di Hermite.
Appena ho un po'di tempo posto qualcosa in merito.
Appena ho un po'di tempo posto qualcosa in merito.
Innanzitutto grazie TeM, con questa scomposizione l'integrale è facilmente risolvibile.
Osservavo però che quella non era la formula di Hermite, e la successiva risposta di gugo82 ne è stata la conferma.
Resto in attesa di una risposta di gugo82 nel caso riuscisse a spiegarmi come applicare la formula di Hermite, che è quella che mi interessava.
In ogni caso, grazie ad entrambi per l'aiuto.
Osservavo però che quella non era la formula di Hermite, e la successiva risposta di gugo82 ne è stata la conferma.
Resto in attesa di una risposta di gugo82 nel caso riuscisse a spiegarmi come applicare la formula di Hermite, che è quella che mi interessava.
In ogni caso, grazie ad entrambi per l'aiuto.
Funziona così, se hai una funzione razionale già ridotta nella forma $(N(x))/(D(x))$ col grado del numeratore minore del denominatore.
Per prima cosa, scomponiamo in fattori il denominatore, ottenendo il prodotto di fattori di primo grado (eventualmente elevati a potenza) e di secondo grado con $Delta < 0$ (eventualmente elevati a potenza), cioè una cosa del tipo:
\[
D(x) = \underbrace{ (a_1 x + b_1)^{h_1}\cdots (a_n x + b_n)^{h_n}}_{\text{primo grado}} \cdot \underbrace{(\alpha_1 x^2 + \beta_1 x + \gamma_1)^{k_1} \cdot (\alpha_m x^2 + \beta_m x + \gamma_m)^{k_m}}_{\text{secondo grado con } \Delta < 0}\; ,
\]
con coefficienti reali ed $h_1, ..., h_n, k_1, ..., k_m in NN$ con esponenti $>=1$.
Nel tuo caso hai già la scomposizione che ti serve: infatti, è:
\[
D(x) = x^3 (x - 4)
\]
con $D$ già scomposto in fattori di primo grado elevati a potenza.
Ora veniamo alla formula di Hermite.
Il teorema su cui essa si basa ti assicura che esiste un unico polinomio $D^**$ di grado \( \nu =\operatorname{grado}(D) - n - m\) ed esistono uniche \(\operatorname{grado} (D)\) costanti $A_1, ..., A_n, B_1, C_1, ..., B_m,C_m, c_0, ..., c_(nu - 1) in RR$ tali che:
\[
\begin{split}
D^*(x) &= \underbrace{ (a_1 x + b_1)^{h_1 - 1}\cdots (a_n x + b_n)^{h_n - 1} \cdot (\alpha_1 x^2 + \beta_1 x + \gamma_1)^{k_1 - 1} \cdot (\alpha_m x^2 + \beta_m x + \gamma_m)^{k_m - 1}}_{\text{tutti gli esponenti esterni abbassati di un grado}}\; , \\
\frac{N(x)}{D(x)} &= \underbrace{\frac{A_1}{a_1 x + b_1} + \cdots + \frac{A_n}{a_n x+ b_n} + \frac{B_1 x + C_1}{\alpha_1 x^2 + \beta_1 x + \gamma_1} + \cdots + \frac{B_m x + C_m}{\alpha_m x^2 + \beta_m x + \gamma_m}}_{\text{fratti semplici}} \\
&\phantom{=} + \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{ c_0 + c_1 x + \cdots + c_{\nu - 1} x^{\nu - 1}}{D^*(x)} \right] \; ,
\end{split}
\]
col secondo membro dell’ultima riga che è la scomposizione di $(N(x))/(D(x))$ con la formula di Hermite.
Nel tuo caso:
\[
\begin{split}
D^* (x) &= x^{3-1}(x-4)^{1-1}=x^2\\
\nu &= 2\\
\frac{1}{x^2(x-4)} &= \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x-4} + \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{c_0 + c_1 x}{x^2}\right]
\end{split}
\]
in cui il secondo membro dell’ultima riga è la scomposizione della tua funzione razionale con la formula di Hermite.
Dopodiché, bisogna calcolare esplicitamente i coefficienti della scomposizione: ciò si fa calcolando il secondo membro (esplicitando la derivata e prendendo il denominatore comune), liberando l’uguaglianza dai denominatori ed applicando il Principio d’Identità dei Polinomi.
Nel tuo caso:
\[
\begin{split}
\frac{1}{x^3 (x - 4)} &= \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x-4} + \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{c_0 + c_1 x}{x^2}\right] \\
&= \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x-4} + \frac{- c_1 x - 2c_0}{x^3}\\
&= \frac{A_1x^2 (x - 4) + A_2 x^3 - (c_1 x + 2 c_0 ) (x - 4)}{x^3 (x - 4)} \\
&= \frac{(A_1 + A_2) x^3 + (-4A_1 - c_1) x^2 + (- 2 c_0 + 4 c_1) x + 8 c_0}{x^3 (x - 4)} \; ,
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{cases}
A_1 + A_2 = 0 \\
4 A_1 + c_1 = 0 \\
- c_0 + 2 c_1 = 0 \\
8 c_0 = 1
\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}
A_2 = - 1/64 \\
A_1 = 1/64 \\
c_1 = 1/16 \\
c_0 = 1/8
\end{cases}
\]
da cui:
\[
\frac{1}{x^3 (x - 4)} = \frac{1}{64x} - \frac{1}{64(x - 4)} + \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{2 + x}{16 x^2}\right]\; ,
\]
la quale è la scomposizione di Hermite che ti serve.
Per prima cosa, scomponiamo in fattori il denominatore, ottenendo il prodotto di fattori di primo grado (eventualmente elevati a potenza) e di secondo grado con $Delta < 0$ (eventualmente elevati a potenza), cioè una cosa del tipo:
\[
D(x) = \underbrace{ (a_1 x + b_1)^{h_1}\cdots (a_n x + b_n)^{h_n}}_{\text{primo grado}} \cdot \underbrace{(\alpha_1 x^2 + \beta_1 x + \gamma_1)^{k_1} \cdot (\alpha_m x^2 + \beta_m x + \gamma_m)^{k_m}}_{\text{secondo grado con } \Delta < 0}\; ,
\]
con coefficienti reali ed $h_1, ..., h_n, k_1, ..., k_m in NN$ con esponenti $>=1$.
Nel tuo caso hai già la scomposizione che ti serve: infatti, è:
\[
D(x) = x^3 (x - 4)
\]
con $D$ già scomposto in fattori di primo grado elevati a potenza.
Ora veniamo alla formula di Hermite.
Il teorema su cui essa si basa ti assicura che esiste un unico polinomio $D^**$ di grado \( \nu =\operatorname{grado}(D) - n - m\) ed esistono uniche \(\operatorname{grado} (D)\) costanti $A_1, ..., A_n, B_1, C_1, ..., B_m,C_m, c_0, ..., c_(nu - 1) in RR$ tali che:
\[
\begin{split}
D^*(x) &= \underbrace{ (a_1 x + b_1)^{h_1 - 1}\cdots (a_n x + b_n)^{h_n - 1} \cdot (\alpha_1 x^2 + \beta_1 x + \gamma_1)^{k_1 - 1} \cdot (\alpha_m x^2 + \beta_m x + \gamma_m)^{k_m - 1}}_{\text{tutti gli esponenti esterni abbassati di un grado}}\; , \\
\frac{N(x)}{D(x)} &= \underbrace{\frac{A_1}{a_1 x + b_1} + \cdots + \frac{A_n}{a_n x+ b_n} + \frac{B_1 x + C_1}{\alpha_1 x^2 + \beta_1 x + \gamma_1} + \cdots + \frac{B_m x + C_m}{\alpha_m x^2 + \beta_m x + \gamma_m}}_{\text{fratti semplici}} \\
&\phantom{=} + \frac{\text{d}}{\text{d} x} \left[ \frac{ c_0 + c_1 x + \cdots + c_{\nu - 1} x^{\nu - 1}}{D^*(x)} \right] \; ,
\end{split}
\]
col secondo membro dell’ultima riga che è la scomposizione di $(N(x))/(D(x))$ con la formula di Hermite.
Nel tuo caso:
\[
\begin{split}
D^* (x) &= x^{3-1}(x-4)^{1-1}=x^2\\
\nu &= 2\\
\frac{1}{x^2(x-4)} &= \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x-4} + \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{c_0 + c_1 x}{x^2}\right]
\end{split}
\]
in cui il secondo membro dell’ultima riga è la scomposizione della tua funzione razionale con la formula di Hermite.
Dopodiché, bisogna calcolare esplicitamente i coefficienti della scomposizione: ciò si fa calcolando il secondo membro (esplicitando la derivata e prendendo il denominatore comune), liberando l’uguaglianza dai denominatori ed applicando il Principio d’Identità dei Polinomi.
Nel tuo caso:
\[
\begin{split}
\frac{1}{x^3 (x - 4)} &= \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x-4} + \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{c_0 + c_1 x}{x^2}\right] \\
&= \frac{A_1}{x} + \frac{A_2}{x-4} + \frac{- c_1 x - 2c_0}{x^3}\\
&= \frac{A_1x^2 (x - 4) + A_2 x^3 - (c_1 x + 2 c_0 ) (x - 4)}{x^3 (x - 4)} \\
&= \frac{(A_1 + A_2) x^3 + (-4A_1 - c_1) x^2 + (- 2 c_0 + 4 c_1) x + 8 c_0}{x^3 (x - 4)} \; ,
\end{split}
\]
dunque:
\[
\begin{cases}
A_1 + A_2 = 0 \\
4 A_1 + c_1 = 0 \\
- c_0 + 2 c_1 = 0 \\
8 c_0 = 1
\end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases}
A_2 = - 1/64 \\
A_1 = 1/64 \\
c_1 = 1/16 \\
c_0 = 1/8
\end{cases}
\]
da cui:
\[
\frac{1}{x^3 (x - 4)} = \frac{1}{64x} - \frac{1}{64(x - 4)} + \frac{\text{d}}{\text{d} x}\left[ \frac{2 + x}{16 x^2}\right]\; ,
\]
la quale è la scomposizione di Hermite che ti serve.
Grazie gugo82, molto preciso e dettagliato.
Mi sono accorto che sbagliavo in continuazione un passaggio: ora ho capito
Grazie ancora
Mi sono accorto che sbagliavo in continuazione un passaggio: ora ho capito
Grazie ancora
Prego.
Quale passaggio, per curiosità?
"alexander97":
Mi sono accorto che sbagliavo in continuazione un passaggio: ora ho capito
Quale passaggio, per curiosità?
"gugo82":
Quale passaggio, per curiosità?
Sbagliavo l'ultima parte, quel membro che va poi derivato. Facevo diviso x^3 e ovviamente i calcoli non venivano.
"TeM":
Coglierei l'occasione per chiedere che vantaggi comporta tale decomposizione rispetto a quella che ho sopra esposto (che non so nemmeno se abbia un nome).
Quella usata da te è una semplice scomposizione in fratti semplici.
Il vantaggio della formula di Hermite è, in fin dei conti, quello di far comparire una derivata sotto il segno d'integrale, di modo che il calcolo di un pezzo dell'integrale iniziale diviene banale.
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