Scomposizione con Taylor

[Archimede87]

Mi aiutate a scomporre la seguente funzione con Taylor?

$log(1+senx)=log(1+x-x^3/(3!)+o(x^4))$

Solo che non capisco come devo continuare, ovvero sapendo che

$log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+o(x^3)$
cosa devo fare ora? Sommare le due formule ottenute o sostituire i valori del seno in quelli del logaritmo scomposto??

[TomSawyer1]

Data l'ultima, scrivi $log(1+sinx)=sinx-(sinx)^2/2+(sinx)^3/3+o(sin^3x)$. Poi non so se devi sviluppare anche il seno.

[Archimede87]

Questo è il punto. Soprattutto come svilupparlo. Nessuno sa darmi una mano??

[-Veon-1]

Dipende a che cosa ti serve la scomposizione. Se ti basta avere la prima non c'è bisogno che continui, altrimenti devi sviluppare ogni termine singolarmente

[Archimede87]

Mi serve per svolgere un limite.
Ad esempio

$lim_(x->0) 1/x*(1/(sentgx) - 1/x)$

Se facessi le derivate il risultato verrebbe, ma se dovessi applicare il metodo della sostituzione ovvero sviluppare il $sentg x=sen(x+(x^3)/3+o(x^4))$ come dovrei continuare per ottenere gli altri termini?

[-Veon-1]

io considerei per il limite $tgx = x+o(x^3)$, esplicitando poi lo sviluppo del seno fino all'ordine opportuno, semplicemente al posto della x ci metti tg x.
Potrei sbagliarmi ma penso sia proprio così.

[Archimede87]

Ma io ho bisogno anche di un altro termine