Sciocchezze sui Limiti per chi li conosce :)
Un concetto semplice direi, ma che non riesco a farmi entrare in testa........... non vedo logica........
perchè tra il limite di $x$ e di $ (x)^(2) $, con x-->0, $x$ tende a 0 più velocemente di $ (x)^(2) $????
intanto non sono ancora sicuro se sia vero, ma comunque non riesco veramente a spiegarmelo... per me $ (x)^(2) $ tende più velocemente a 0, perchè me l'immagino come se fossero $ lim_(x -> +oo ) 1 / x $ e $ lim_(x -> +oo ) 1 / (x)^(2) $, di conseguenza la mia idea è che $ (x)^(2) $ tende a 0 più velocemente di $x$ per x-->0.
sbaglio?
grazie mille in anticipo a chi riesce ad aprire questo cervellotto arruginito.......
perchè tra il limite di $x$ e di $ (x)^(2) $, con x-->0, $x$ tende a 0 più velocemente di $ (x)^(2) $????
intanto non sono ancora sicuro se sia vero, ma comunque non riesco veramente a spiegarmelo... per me $ (x)^(2) $ tende più velocemente a 0, perchè me l'immagino come se fossero $ lim_(x -> +oo ) 1 / x $ e $ lim_(x -> +oo ) 1 / (x)^(2) $, di conseguenza la mia idea è che $ (x)^(2) $ tende a 0 più velocemente di $x$ per x-->0.
sbaglio?
grazie mille in anticipo a chi riesce ad aprire questo cervellotto arruginito.......
Risposte
Bisogna mettersi d'accordo anzitutto sul significato della terminologia "tende a 0 più velocemente di...".
Di solito questa espressione si usa per esprimere il fatto che un infinitesimo è di ordine superiore rispetto ad un altro infinitesimo. Dalla definizione di ordine di infinitesimo puoi giustificare quanto non ti è stato chiaro.
Di solito questa espressione si usa per esprimere il fatto che un infinitesimo è di ordine superiore rispetto ad un altro infinitesimo. Dalla definizione di ordine di infinitesimo puoi giustificare quanto non ti è stato chiaro.
ma infatti $x^2 -> 0$ più velocemente di $x$, il tuo ragionamento non fa una piega 
Per "vedere" con i tuoi occhi questa situazione più chiaramente ti consiglio di vedere i grafici delle suddette funzioni.
La funzione che "tende a zero più velocemente di" un'altra è quella che per $x -> 0$ ha il grafico sotto l'altra.
[asvg]axes();
plot("y=x");
plot("y=x^2");[/asvg]
( nel tuo caso si nota come è proprio $x^2$ ad essere un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x$ )
La funzione che "tende a zero più velocemente di" un'altra è quella che per $x -> 0$ ha il grafico sotto l'altra.
[asvg]axes();
plot("y=x");
plot("y=x^2");[/asvg]
( nel tuo caso si nota come è proprio $x^2$ ad essere un infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x$ )
Secondo me, graficamente, le cose non funzionano così.
Considera i grafici delle funzioni $f(x) =log( x + 1 )$ , $g(x) = x$ ambedue infinitesime per $x -> 0$.
Il fatto che sia $log(x + 1) <= x$, $AA x in RR$ non è sufficiente per concludere che $f$ è di ordine superiore rispetto a $g$...
Considera i grafici delle funzioni $f(x) =log( x + 1 )$ , $g(x) = x$ ambedue infinitesime per $x -> 0$.
Il fatto che sia $log(x + 1) <= x$, $AA x in RR$ non è sufficiente per concludere che $f$ è di ordine superiore rispetto a $g$...
Giusto: ben detto Seneca. Stavo proprio pensando che la spiegazione di pater46 non mi convinceva ma non mi veniva in mente un controesempio calzante. Infatti, per vedere intuitivamente ([size=75][warning]: seguono considerazioni per nulla rigorose[/size]) quando un infinitesimo è di primo ordine o di ordine superiore, più che alle disuguaglianze io penserei al coefficiente angolare: se il grafico della funzione "fende" l'asse delle $x$, è un infinitesimo del primo ordine, se è ad esso tangente, è un infinitesimo di ordine superiore al primo. E l'ordine di infinitesimo è tanto superiore quanto più il grafico della funzione si appiccica all'asse delle $x$. Ripeto il warning di sopra, nel caso a qualcuno venisse in mente di prendere questa roba come definizione.
molte considerazioni belle e poetiche 
però proviamo con un approccio un po' più rigoroso, magari NZQRC capisce un po' di più:
prendi due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ tali che per $x to x_0$ tendono entrambe a $0$.
(ne tuo caso $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$ e $x_0=0$ )
per sapere quale delle due va a $0$ "più velocemente" fai $lim_(x to x_0) (f(x))/(g(x))$, chiamiamolo $L$.
se $L=0$ allora $f$ va a $0$ più velocemente di $g$
se $L=infty$ allora $g$ va a $0$ più velocemente di $f$
se $L in RR_0$ vanno a $0$ con la stessa velocità.
c'è un'evidente logica dietro a queste conclusioni, la comprendi?
P.S. mi viene un dubbio, se $L$ non esiste? non possiamo dire nulla?
però proviamo con un approccio un po' più rigoroso, magari NZQRC capisce un po' di più:
prendi due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ tali che per $x to x_0$ tendono entrambe a $0$.
(ne tuo caso $f(x)=x$ e $g(x)=x^2$ e $x_0=0$ )
per sapere quale delle due va a $0$ "più velocemente" fai $lim_(x to x_0) (f(x))/(g(x))$, chiamiamolo $L$.
se $L=0$ allora $f$ va a $0$ più velocemente di $g$
se $L=infty$ allora $g$ va a $0$ più velocemente di $f$
se $L in RR_0$ vanno a $0$ con la stessa velocità.
c'è un'evidente logica dietro a queste conclusioni, la comprendi?
P.S. mi viene un dubbio, se $L$ non esiste? non possiamo dire nulla?
"blackbishop13":
P.S. mi viene un dubbio, se $L$ non esiste? non possiamo dire nulla?
I due infinitesimi si dicono non confrontabili.
Qui ci sono un pò di esempi e definizioni: http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/garetto/economia/infinitesimi_infiniti.pdf
c'ho messo un po per carburare tutto, ma alla fine ho capito... il mio problema poi si è rettificato agli O piccoli, ma ho risolto con il mio professore....... grazie gatto per gli esempi li ho stampati ed aggiunti ai miei appunti ....
grazie a tutti per le risposte molto gentili
ps: il prossimo topic sarà sulle derivate lo so, anche se fin'ora non sembrano assurde.....
.... grazie a tutti per le risposte molto gentili
ps: il prossimo topic sarà sulle derivate lo so, anche se fin'ora non sembrano assurde.....
Wow finora mi era sembrato più logico pensarla in quella maniera, mi sono sempre sbagliato! Più che altro anche graficamente mi sembrava che le cose funzionassero... Come nel caso di sopra... Anche se effettivamente ho solo verificato questa cosa con potenze di x, e quindi con funzioni il cui grafico in $x=0$ è convesso...
Chissà se la derivata seconda potrebbe avere qualcosa a che fare con questo, non credo effettivamente, magari domani la guardo un pò sta cosa...
Grazie per le risposte comunque, serviranno senz'altro anche a me!
Chissà se la derivata seconda potrebbe avere qualcosa a che fare con questo, non credo effettivamente, magari domani la guardo un pò sta cosa...
Grazie per le risposte comunque, serviranno senz'altro anche a me!
"dissonance":
Se il grafico della funzione "fende" l'asse delle $x$, è un infinitesimo del primo ordine, se è ad esso tangente, è un infinitesimo di ordine superiore al primo.
Anche questo ragionamento mi piace molto, ( sempre parlando in termini rudi ), trova la sua conferma in funzioni come il seno e l'arctan... ed anche in esponenziali del tipo $a^x-1$.
D'altronde tutti quelli che ho citato sono limiti notevoli di cui mi aspettavo già il comportamento, tuttavia graficamente torna anche il tuo ragionamento.
Danke dissonance per l'interessante spunto
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