Schema per la convergenza delle successioni di funzione
Salve vorrei un aiuto per crearmi uno schema per studiare la convergenza delle successioni di funzione.
La mia prof.ssa ha detto che devo fare:
1) Determinare L'insieme di convergenza puntule a f(x) funzione limite.
Come si fa?ad esempi se ho [-1,2] sostituisco alla x della funzione prima -1,poi 2 e poi 0 evedo i valori che ottengo?
2)Dire se è convergente uniformemente
Alllora mi dite i singoli passaggi che devo fare?
3)se non è conv. unif. trovare un intervallo in cui la successione è convergente uniformemente
Come si fa?
Spero in un vostro aiuto.grazie
La mia prof.ssa ha detto che devo fare:
1) Determinare L'insieme di convergenza puntule a f(x) funzione limite.
Come si fa?ad esempi se ho [-1,2] sostituisco alla x della funzione prima -1,poi 2 e poi 0 evedo i valori che ottengo?
2)Dire se è convergente uniformemente
Alllora mi dite i singoli passaggi che devo fare?
3)se non è conv. unif. trovare un intervallo in cui la successione è convergente uniformemente
Come si fa?
Spero in un vostro aiuto.grazie
Risposte
Sei vivamente pregato di eliminare il grassetto dal post (puoi lasciare i numeri in grassetto, se vuoi); il motivo lo trovi nel regolamento (clicca e guarda la 3.5).
Grazie.
Visto che parlare in generale non serve (altrimenti avresti capito già lo schema della tua docente), proponi un esempio sul quale lavorare... Che sò, qualche esercizio svolto a lezione o qualche problema dal testo di esercizi.
Grazie.
Visto che parlare in generale non serve (altrimenti avresti capito già lo schema della tua docente), proponi un esempio sul quale lavorare... Che sò, qualche esercizio svolto a lezione o qualche problema dal testo di esercizi.
Chiedo scusa...Ho modificato il post precedente.. allora posterò un esercizio svolto a lezione:
testo: $ fn(x)= root(n)(x)$ con $ x in(0,1)=I $
1) determinare insieme di convergenza puntuale A e funzione limite f(x)
$A=I=(0,1)$
$f(x)=1$
In questo caso si è sostituito alla x della funzione prima 0,poi 1? e si è fatto il $\lim_{n \to \infty}$? E se I era tutto R?
2)Dire se è convergente uniformemente
sup$|root(n)(x)-1|=$
sup$(1-root(n)(x))=1$
$\lim_{n \to \infty}1=1$ dunque non è convergente uniformente perchè non abbiamo ottenuto $0$
mi dite i singoli passaggi che devo fare?
3)se non è conv. unif. trovare un intervallo in cui la successione è convergente uniformemente
Si ha in ogni intervallo [r,1) conv.uniforme
sup$(1-root(n)(x))=1-root(n)(r)=0$
$\lim_{n \to \infty}(1-root(n)(r))=0$
Non ho proprio capito come devo fare a stabilire qual il sottointervallo in cui è conv. unif...
testo: $ fn(x)= root(n)(x)$ con $ x in(0,1)=I $
1) determinare insieme di convergenza puntuale A e funzione limite f(x)
$A=I=(0,1)$
$f(x)=1$
In questo caso si è sostituito alla x della funzione prima 0,poi 1? e si è fatto il $\lim_{n \to \infty}$? E se I era tutto R?
2)Dire se è convergente uniformemente
sup$|root(n)(x)-1|=$
sup$(1-root(n)(x))=1$
$\lim_{n \to \infty}1=1$ dunque non è convergente uniformente perchè non abbiamo ottenuto $0$
mi dite i singoli passaggi che devo fare?
3)se non è conv. unif. trovare un intervallo in cui la successione è convergente uniformemente
Si ha in ogni intervallo [r,1) conv.uniforme
sup$(1-root(n)(x))=1-root(n)(r)=0$
$\lim_{n \to \infty}(1-root(n)(r))=0$
Non ho proprio capito come devo fare a stabilire qual il sottointervallo in cui è conv. unif...
"Nonna Papera":
Chiedo scusa...Ho modificato il post precedente...
Grazie mille.
"Nonna Papera":
un esercizio svolto a lezione:
testo: $ f_n(x)= root(n)(x)$ con $ x in(0,1)=I $
1) determinare insieme di convergenza puntuale $A$ e funzione limite $f(x)$
$A=I=(0,1)$
$f(x)=1$
In questo caso si è sostituito alla x della funzione prima 0,poi 1? e si è fatto il $\lim_{n \to \infty}$? E se $I$ era tutto $RR$?
Non si è sostituito un valore particolare di $x$ (anche perchè, essendo $(0,1)$ aperto, gli estremi non stanno in $I$ e non avrebbe senso andarli a sostitutire).
Il procedimento per determinare la funzione limite e l'insieme di convergenza è il seguente.
Fissa $x=\bar(x) \in I$ e calcola il limite $lim_(n\to +oo) f_n(\bar(x))$ (Nota Bene: $f_n(bar(x))$ è una successione di numeri reali, perchè $bar(x)$ è fissato!): se tale limite esiste finito, ossia se $f_n(bar(x))$ converge, esso dipende da $bar(x)$ e perciò lo puoi chiamare $f(bar(x))$.
L'insieme di convergenza $A$ è fatto da tutti quei $bar(x) \in I$ per cui esiste il limite $f(bar(x))$.
Se ora chiami $bar(x) =x$ e lo lasci variare in $A$, ottieni una funzione $f:A\to RR$ che ad ogni punto $x\in A$ associa il numero $f(x)=lim_(n\to +oo) f_n(x)$: tale $f$ è la funzione limite delle $f_n$.
Nel tuo caso, fissiamo $bar(x)\in I$ e consideriamo la successione numerica $f_n(bar(x))=root(n)(bar(x))$: si ha:
$f_n(bar(x))=bar(x)^(1/n) \quad => \quad lim_(nto +oo) f_n(bar(x))=1$.
La successione numerica di termine $f_n(bar(x))$ è quindi convergente verso $1$ per ogni $bar(x) in I$; per quanto detto più sopra, ciò equivale a dire che $A=I$ ed $f(x)=1$.
"Nonna Papera":
2)Dire se è convergente uniformemente
$"sup"|root(n)(x)-1|=$
$"sup"(1-root(n)(x))=1$
$\lim_{n \to \infty}1=1$ dunque non è convergente uniformente perchè non abbiamo ottenuto $0$
mi dite i singoli passaggi che devo fare?
Una volta determinato il limite $f$ e l'insieme di convergenza $A$, vuoi stabilire se $f_n$ converge unif. ad $f$ in $A$: per fare ciò devi semplicemente cercare di applicare la definizione ossia devi cercare di dimostrare che $lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in A)|f_n(x)-f(x)| =0$ (Nota Bene: c'è l'estremo superiore perchè, anche se stai lavorando con funzioni continue, sei su un intervallo non compatto e non puoi usare Weierstrass).
Nel tuo caso hai $f_n(x)=root(n)(x)$, $A=I$ ed $f(x)=1$. Formando i valori assoluti $|f_n(x)-f(x)|=|root(n)(x)-1|$ e ricordando che $0
$|f_n(x)-f(x)|=1-root(n)(x)$
e di questi valori assoluti tu vuoi calcolarne l'estremo superiore in $A=(0,1)$. Visto che, come già ricordato, $root(n)(\cdot)$ è str. crescente, si ha: $AA n in NN$,
$-root(n)(x) " str. decresc. " => 1-root(n)(x) " str. decresc." => $
$\quad =>"sup"_(x \in A) \{ 1-root(n)(x)\} =lim_(x\to 0^+) 1-root(n)(x)=1$. (*)
Ora devi calcolare $lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in A) |f_n(x)-f(x)|$: si ha:
$lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in A) |f_n(x)-f(x)|=lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in A) \{ 1-root(n)(x)\}=lim_(n\to +oo) 1=1$
e, visto che tale limite è $!=0$, la successione non converge uniformemente in $A$.
"Nonna Papera":
3)se non è conv. unif. trovare un intervallo in cui la successione è convergente uniformemente
Si ha in ogni intervallo [r,1) conv.uniforme
sup$(1-root(n)(x))=1-root(n)(r)=0$
$\lim_{n \to \infty}(1-root(n)(r))=0$
Non ho proprio capito come devo fare a stabilire qual il sottointervallo in cui è conv. unif...
Il problema è il seguente: "Visto che la successione $f_n$ non converge uniformemente in $A$, esiste qualche sottoinsieme $B\subseteq A$ tale che $f_n$ converga uniformemente in $B$ (sempre verso $f$, ovviamente)?".
Per risolvere questo tipo di problema devi capire quali sono quei punti di $A$ (o anche di accumulazione per $A$ che non sono in $A$) che "ti danno fastidio" nel calcolo dell'estremo superiore $"sup"_(x\in A) |f_n(x)-f(x)|$, cercare di escluderli da $A$ (o dalla chiusura di $A$, se tali punti non stanno in $A$) considerando una parte $B$ che non contenga intorni di tali punti, e provare a mostrare che i $"sup"_(x\in B) |f_n(x)-f(x)|$ sono tali che $lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in A) |f_n(x)-f(x)|=0$.
Nel tuo caso, la (*) ti dice subito che è il punto $0$ a "darti fastidio": infatti risulta $"sup"_(x \in A) \{ 1-root(n)(x)\} =lim_(x\to 0^+) 1-root(n)(x)=1$ e questa successione di $"sup"$ ti fa "saltare" la convergenza uniforme.
Quindi, per quanto detto prima, possiamo provare a vedere se privando $A$ di un intorno (destro in tal caso) di $0$ otteniamo una successione di $"sup"$ infinitesima.
Fissiamo un intorno destro $[0,r)$ di $0$ (qui $r>0$) e poniamo $B=A\setminus [0,r) = [r,1)$. Lo studio già fatto in precedenza della monotonia di $|f_n(x)-f(x)|$ ci porta a concludere che $|f_n(x)-f(x)|=1-root(n)(x)$ è str. decresc. in $[r,1)$, quindi si ha:
$"sup"_(x\in B) |f_n(x)-f(x)|=|f_n(r)-f(r)|=1-root(n)(r)$.
Calcolando il $lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in B) |f_n(x)-f(x)|$ troviamo:
$lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in B) |f_n(x)-f(x)| =lim_(n\to +oo) 1-root(n)(r)=1-1=0\quad$ (visto che $root(n)(r) to 1$)
cosicché $f_n$ converge uniformemente verso $f$ in $B$.
D'altra parte, il numero $r>0$ era stato fissato arbitrariamente; quindi possiamo affermare che la $f_n$ converge uniformemente verso $f$ in ogni insieme del tipo $[r,1)$ contenuto in $A=(0,1)$.
non ho capito una cosa, ma se posso scegliere arbitrariamente $r$ allora ipotiziamo che $[r,1)$ sia $[1/2,1)$ ottengo che il $"sup"_(x\inB)|f_n(x)-f(x)|$ lo si ha per $x=1/2$ e dunque $"sup"_(x\inB)|f_n(x)-f(x)|=1/2$.
da questo se pongo $lim_(n->infty)1/2=1/2$ e non converge uniformemente in $B$.
dove sbaglio?
da questo se pongo $lim_(n->infty)1/2=1/2$ e non converge uniformemente in $B$.
dove sbaglio?
"tinam73":
non ho capito una cosa, ma se posso scegliere arbitrariamente $r$ allora ipotiziamo che $[r,1)$ sia $[1/2,1)$ ottengo che il $"sup"_(x\inB)|f_n(x)-f(x)|$ lo si ha per $x=1/2$ e dunque $"sup"_(x\inB)|f_n(x)-f(x)|=1/2$.
Occhio: $"sup"_(x\inB)|f_n(x)-f(x)|=1-root(n)(1/2)=1-1/2^(1/n)$...
"Gugo82":
La successione numerica di termine $f_n(bar(x))$ è quindi convergente verso $1$ per ogni $bar(x) in I$; per quanto detto più sopra, ciò equivale a dire che $A=I$ ed $f(x)=1$.
Quindi otterrei una successione numerica avendo x fissato..giusto? Ma se il limite mi dicesse che invece la successione diverge? signifa che $A!=I$ e dunque A come lo determino?
"Gugo82":
di questi valori assoluti tu vuoi calcolarne l'estremo superiore in $A=(0,1)$. Visto che, come già ricordato, $root(n)(\cdot)$ è str. crescente, si ha: $AA n in NN$,
$-root(n)(x) " str. decresc. " => 1-root(n)(x) " str. decresc." => $
$\quad =>"sup"_(x \in A) \{ 1-root(n)(x)\} =lim_(x\to 0^+) 1-root(n)(x)=1$. (*)
Ora devi calcolare $lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in A) |f_n(x)-f(x)|$: si ha:
$lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in A) |f_n(x)-f(x)|=lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in A) \{ 1-root(n)(x)\}=lim_(n\to +oo) 1=1$
e, visto che tale limite è $!=0$, la successione non converge uniformemente in $A$.
Spesso la prof.ssa ci faceva trovare la derivata prima e poi trovare per quali valori si annullava..però non ho capito perchè si facesse in quel modo... ma come se arrivato a questo passaggio $lim_(x\to 0^+) 1-root(n)(x)=1$ ?
"Gugo82":
Calcolando il $lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in B) |f_n(x)-f(x)|$ troviamo:
$lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in B) |f_n(x)-f(x)| =lim_(n\to +oo) 1-root(n)(r)=1-1=0\quad$ (visto che $root(n)(r) to 1$)
cosicché $f_n$ converge uniformemente verso $f$ in $B$.
D'altra parte, il numero $r>0$ era stato fissato arbitrariamente; quindi possiamo affermare che la $f_n$ converge uniformemente verso $f$ in ogni insieme del tipo $[r,1)$ contenuto in $A=(0,1)$.
come fai a dire che $root(n)(r) to 1$?
Grazie mille per tutta la spiegazione che mi hai fatto
Perchè per $n->infty$ si ha $r^0=1$ visto che $root(n)(r)$ si può scrivere come $r^(1/n)$.
Ciao
Ciao
"Nonna Papera":
[quote="Gugo82"]
La successione numerica di termine $f_n(bar(x))$ è quindi convergente verso $1$ per ogni $bar(x) in I$; per quanto detto più sopra, ciò equivale a dire che $A=I$ ed $f(x)=1$.
Quindi otterrei una successione numerica avendo x fissato..giusto? Ma se il limite mi dicesse che invece la successione diverge? signifa che $A!=I$ e dunque A come lo determino?[/quote]
Semplicemente levando da $I$ tutti quei punti $bar(x)$ per cui la successione numerica $f_n(bar(x))$ non converge: infatti per definizione:
$A:=\{ x\in I:\ " esiste finito il " lim_(n\to +oo) f_n(x)\}$.
"Nonna Papera":
[quote="Gugo82"]
di questi valori assoluti tu vuoi calcolarne l'estremo superiore in $A=(0,1)$. Visto che, come già ricordato, $root(n)(\cdot)$ è str. crescente, si ha: $AA n in NN$,
$-root(n)(x) " str. decresc. " => 1-root(n)(x) " str. decresc." => $
$\quad =>"sup"_(x \in A) \{ 1-root(n)(x)\} =lim_(x\to 0^+) 1-root(n)(x)=1$. (*)
Ora devi calcolare $lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in A) |f_n(x)-f(x)|$: si ha:
$lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in A) |f_n(x)-f(x)|=lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in A) \{ 1-root(n)(x)\}=lim_(n\to +oo) 1=1$
e, visto che tale limite è $!=0$, la successione non converge uniformemente in $A$.
Spesso la prof.ssa ci faceva trovare la derivata prima e poi trovare per quali valori si annullava..però non ho capito perchè si facesse in quel modo... ma come se arrivato a questo passaggio $lim_(x\to 0^+) 1-root(n)(x)=1$?[/quote]
Si fa in quel modo perchè negli esempi che la tua prof ti ha proposto hai $|f_n-f|$ di classe $C^1$ (ossia derivabile con derivata prima continua) in un compatto oppure infinitesima all'infinito; per il teorema di Weierstrass sai che $"sup"|f_n-f|=max|f_n-f|$ ed i massimi interni si determinano con le regole standard di Analisi I (ossia derivata $=0$ e studio della monotonia).
Per quanto riguarda il calcolo del limite, beh per passare Analisi II bisognerebbe ricordare le basi di Analisi I per lo meno...
Se invece la tua domanda riguardava l'uguaglianza $"sup"_(x \in A) \{ 1-root(n)(x)\} =lim_(x\to 0^+) 1-root(n)(x)$, essa è conseguenza della decrescenza.
"Nonna Papera":
[quote="Gugo82"]
Calcolando il $lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in B) |f_n(x)-f(x)|$ troviamo:
$lim_(n\to +oo) "sup"_(x\in B) |f_n(x)-f(x)| =lim_(n\to +oo) 1-root(n)(r)=1-1=0\quad$ (visto che $root(n)(r) to 1$)
cosicché $f_n$ converge uniformemente verso $f$ in $B$.
D'altra parte, il numero $r>0$ era stato fissato arbitrariamente; quindi possiamo affermare che la $f_n$ converge uniformemente verso $f$ in ogni insieme del tipo $[r,1)$ contenuto in $A=(0,1)$.
come fai a dire che $root(n)(r) to 1$?[/quote]
Vale lo stesso discorso di prima: per passare Analisi II bisognerebbe ricordare le basi di Analisi I per lo meno.
Scusate, ma non so per quale strano motivo, ho letto direttamente solo l'ultima domanda posta da "Nonna Papera", non curandomi delle precendi contenute nel post .... 
......
......
"Alexp":
Scusate, ma non so per quale strano motivo, ho letto direttamente solo l'ultima domanda posta da "Nonna Papera", non curandomi delle precendi contenute nel post ...
Per me non fa nulla Alexp e credo che anche Nonna Papera non avrà nulla da rimproverarti. So, don't worry.
grazie mille... 
hai ragione nel dirmi che dovrei ricordarmi analisi I.. però l'ho fatte tempo fa.. e poi non benissimo a causa della poca prepazione del mio docente!
hai ragione nel dirmi che dovrei ricordarmi analisi I.. però l'ho fatte tempo fa.. e poi non benissimo a causa della poca prepazione del mio docente!
"Nonna Papera":
grazie mille...
Prego.
"Nonna Papera":
hai ragione nel dirmi che dovrei ricordarmi analisi I.. però l'ho fatte tempo fa...
I libri esistono per essere consultati, non per prendere polvere sulle mensole.
"Nonna Papera":
e poi non benissimo a causa della poca prepazione del mio docente!
Come diceva quel tale: "Perché guardi la pagliuzza che è nell'occhio del tuo fratello, e non t'accorgi della trave che è nel tuo?".
"Gugo82":
Come diceva quel tale: "Perché guardi la pagliuzza che è nell'occhio del tuo fratello, e non t'accorgi della trave che è nel tuo?".
No dai Gugo..
..."quel tale" era Gesù Cristo!
"Alexp":
[quote="Gugo82"]
Come diceva quel tale: "Perché guardi la pagliuzza che è nell'occhio del tuo fratello, e non t'accorgi della trave che è nel tuo?".
No dai Gugo..
..."quel tale" era Gesù Cristo![/quote]Embé?
niente di che 
...solo che mi sembra brutto definirlo "quel tale"....
...solo che mi sembra brutto definirlo "quel tale"....
[OT]
A me no... Anzi dirò di più: ho scelto quella citazione non perchè la ritenga superiore ad altre, ma perchè non avevo il mio Hagakure sotto mano (stava sepolto chissà dove sotto una catasta di libri).
Ora che l'ho trovato ho a disposizione una frase molto più adatta alla situazione di quanto non sia quella precedente.
Infatti, mentre la frase di Gesu dice in soldoni: "Perchè ti preoccupi dei difetti di un altro, quando i tuoi sono più grandi?"; quella di Tsunetomo in parole povere dice "Non aiuta a crescere il seguire cattivi esempi" e porta alla domanda "Perchè tu (studente universitario), che sei intelligente e ti sei reso conto che quello del tuo professore non era un buon esempio da seguire, l'hai fatto ugualmente?".
Quest'ultima questione ha una forte valenza psicologica, in quanto impone a chi la legge (lo studente universitario) una seria analisi del perchè frequentare dei corsi universitari senza la necessaria voglia di migliorare la propria conoscenza con un approfondito studio individuale.
P.S.: Alex, se non l'hai già visto, ti consiglio Ghost Dog di Jim Jarmush con Forest Whitaker ed il granitico Henry Silva (che ricorderai sicuramente dalla faccia; ha fatto alcuni film poliziotteschi degli anni '70).
[/OT]
A me no... Anzi dirò di più: ho scelto quella citazione non perchè la ritenga superiore ad altre, ma perchè non avevo il mio Hagakure sotto mano (stava sepolto chissà dove sotto una catasta di libri).
Ora che l'ho trovato ho a disposizione una frase molto più adatta alla situazione di quanto non sia quella precedente.
"Yamamoto Tsunetomo, in Hagakure (I, 64),":tfgjwzch:
Nelle arti non si può raggiungere il livello del maestro se se ne imitano i difetti, perciò non è utile farlo.
Infatti, mentre la frase di Gesu dice in soldoni: "Perchè ti preoccupi dei difetti di un altro, quando i tuoi sono più grandi?"; quella di Tsunetomo in parole povere dice "Non aiuta a crescere il seguire cattivi esempi" e porta alla domanda "Perchè tu (studente universitario), che sei intelligente e ti sei reso conto che quello del tuo professore non era un buon esempio da seguire, l'hai fatto ugualmente?".
Quest'ultima questione ha una forte valenza psicologica, in quanto impone a chi la legge (lo studente universitario) una seria analisi del perchè frequentare dei corsi universitari senza la necessaria voglia di migliorare la propria conoscenza con un approfondito studio individuale.
P.S.: Alex, se non l'hai già visto, ti consiglio Ghost Dog di Jim Jarmush con Forest Whitaker ed il granitico Henry Silva (che ricorderai sicuramente dalla faccia; ha fatto alcuni film poliziotteschi degli anni '70).
[/OT]
"Gugo82":
I libri esistono per essere consultati, non per prendere polvere sulle mensole.
I miei libri non sono sulla mensola per prendere polvere..anzi li consulto spesso..ma non sempre si ci trova la risposta ai propri dubbi!
"Gugo82":
Come diceva quel tale: "Perché guardi la pagliuzza che è nell'occhio del tuo fratello, e non t'accorgi della trave che è nel tuo?".
Non voleva essere una critica al mio docente..ma era solo per farti capire che quando si studiano degl'argomenti del tutto nuovi da autodidatta i dubbi che si vengono a creare o gli argomenti che non vengono capiti benissimo se non trovi qualcuno disposto a spiegarteli essi permangono!
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