Schema di dimostrazione: corretto?
Teorema: $f:I->RR$, $I sube RR$ intervallo. Allora $f$ è invertibile $<=>$ $f$ è strettamente monotona
Per la freccia $=>$, è corretto fare questo schema?
Divido in due casi e dimostro "per assurdo" che se $f$ non è strettamente cresciente allora è strettamente decrescente, e che se non è strettamente decrescente allora è strettamente crescente?
Per la freccia $=>$, è corretto fare questo schema?
Divido in due casi e dimostro "per assurdo" che se $f$ non è strettamente cresciente allora è strettamente decrescente, e che se non è strettamente decrescente allora è strettamente crescente?
Risposte
C'é qualche condizione di continuità da prendere in considerazione? Perché in assenza di quelli non c'é nessuna ragione per supporre che si debba avere la monotonia... Basta l'iniettività... Quindi presumo che $f$ sia continua.
Puoi usare questioni di topologia? Quali teoremi puoi usare?
Le tue ipotesi mi lasciano un po' perplesso...
Puoi usare questioni di topologia? Quali teoremi puoi usare?
Le tue ipotesi mi lasciano un po' perplesso...
"nato_pigro":
Teorema: $f:I->RR$, $I sube RR$ intervallo. Allora $f$ è invertibile $<=>$ $f$ è strettamente monotona
Per la freccia $=>$, è corretto fare questo schema?
Divido in due casi e dimostro "per assurdo" che se $f$ non è strettamente cresciente allora è strettamente decrescente, e che se non è strettamente decrescente allora è strettamente crescente?
3 commenti:
- per ottenere questo tipo di risultato le ipotesi non sono sufficienti (si possono fare controesempi, che puoi farti anche tu). La continuità è l'ipotesi che aggiungerei (come detto da vict85)
- mi lascia perplesso il tuo "ragionamento". Ci vedo dietro un uso troppo "disinvolto" dei quantificatori. Troppo caldo?
- la mia solita tirata struttural-bourbakista... Se $f$ è una funzione qualunque, nel senso che non imponi che rispetti alcuna struttura (semplicemente, invertibile, quindi stai usando insiemi "senza struttura"), la ipotesi che $I$ sia un intervallo è del tutto irrilevante
Per 2nato_pigro"
Ciao (come ti hanno già suggerito "Fioravante" e "vict85"), se una funzione è continua ed inveritbile allora sarà strettamente monotona, altrimenti è sufficiente l'iniettività.
Ciao (come ti hanno già suggerito "Fioravante" e "vict85"), se una funzione è continua ed inveritbile allora sarà strettamente monotona, altrimenti è sufficiente l'iniettività.
sisi, scusate, deve essere continua ovviamente. Non era la la correttezza dell'enunciato o sapere qual è la dimostrazione più semplice per dimostrarlo che mi interessa, mi interessa sapere se il ragionamento vale.
con la freccia $=>$ voglio dimostrare che, date quelle ipotesi, allora $f$ è o strettamente crescente o strettamente decrescente. Io ora pensavo: siccome non eisiste una funzione sia strett crescente che strett decrescente allora [$f$ è o strettamente crescente o strettamente decrescente]$<=>$[($f$ è strettamente crescente e non strettamente decrescente) o ($f$ è non strettamente crescente e strettamente decrescente)].
E ora, e questo è il passaggio che non mi convince, volevo dire: se $f$ non è strett crescente allora $f$ è strett decrescente, e, simmetricamente, se $f$ non è strett decrescente allora $f$ è strett crescente. Quindi in qualche modo parto con l'ipotesi dell'assurdo ma non arrivo ad un assurdo bensì a quello che voglio dimostrare.
Ora però mi accorgo che mancano dei casi, e cioè le funzioni che non sono nè strett decrescenti nè strett crescenti, in questo caso pensavo di divedere un po' di casi e usare il teorema dei valori intermedi per raggiungere l'assurdo.
A questo punto, scrivendo, mi rendo conto che è più complicata di come l'avevo in testa. Però forse riuscite a semplificarmi lo schema...
con la freccia $=>$ voglio dimostrare che, date quelle ipotesi, allora $f$ è o strettamente crescente o strettamente decrescente. Io ora pensavo: siccome non eisiste una funzione sia strett crescente che strett decrescente allora [$f$ è o strettamente crescente o strettamente decrescente]$<=>$[($f$ è strettamente crescente e non strettamente decrescente) o ($f$ è non strettamente crescente e strettamente decrescente)].
E ora, e questo è il passaggio che non mi convince, volevo dire: se $f$ non è strett crescente allora $f$ è strett decrescente, e, simmetricamente, se $f$ non è strett decrescente allora $f$ è strett crescente. Quindi in qualche modo parto con l'ipotesi dell'assurdo ma non arrivo ad un assurdo bensì a quello che voglio dimostrare.
Ora però mi accorgo che mancano dei casi, e cioè le funzioni che non sono nè strett decrescenti nè strett crescenti, in questo caso pensavo di divedere un po' di casi e usare il teorema dei valori intermedi per raggiungere l'assurdo.
A questo punto, scrivendo, mi rendo conto che è più complicata di come l'avevo in testa. Però forse riuscite a semplificarmi lo schema...
"nato_pigro":
con la freccia $=>$ voglio dimostrare che, date quelle ipotesi, allora $f$ è o strettamente crescente o strettamente decrescente. Io ora pensavo: siccome non eisiste una funzione sia strett crescente che strett decrescente allora [$f$ è o strettamente crescente o strettamente decrescente]$<=>$[($f$ è strettamente crescente e non strettamente decrescente) o ($f$ è non strettamente crescente e strettamente decrescente)].
E ora, e questo è il passaggio che non mi convince, volevo dire: se $f$ non è strett crescente allora $f$ è strett decrescente, e, simmetricamente, se $f$ non è strett decrescente allora $f$ è strett crescente. Quindi in qualche modo parto con l'ipotesi dell'assurdo ma non arrivo ad un assurdo bensì a quello che voglio dimostrare.
Ora però mi accorgo che mancano dei casi, e cioè le funzioni che non sono nè strett decrescenti nè strett crescenti, in questo caso pensavo di divedere un po' di casi e usare il teorema dei valori intermedi per raggiungere l'assurdo.
A questo punto, scrivendo, mi rendo conto che è più complicata di come l'avevo in testa. Però forse riuscite a semplificarmi lo schema...
Mi sembra che la risposta la trovi nel post "resuscitato" da Alexp:
https://www.matematicamente.it/forum/inv ... 34290.html
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