Scelta multipla, numeri complessi

[df2]

Sia A l'insieme dei numeri $z in C: |z+5i|>=1/2$. L'insieme A è:
a)aperto
b)illimitato
c)formato solo da due punti
d)limitato

(risposta esatta la D)


calcolo il modulo, elevo a quadrato e mi viene:

$4x^2+4y^2+40y+99>=0

da qui sono bloccato. non so come proseguire non essendo una classica disequazione

graficamente dovrebbe risultare



grazie

[gugo82]

"df":Sia A l'insieme dei numeri $z in C: |z+5i|>=1/2$. L'insieme A è:
a)aperto
b)illimitato
c)formato solo da due punti
d)limitato

(risposta esatta la D)

La risposta esatta non è D.

L'insieme $Gamma={z in CC:quad |z+5i|=1/2}$ è la circonferenza del piano di Gauss con centro in $-5i$ e raggio $1/2$. Ne consegue che l'insieme $A$ del testo è costituito da tutti i punti $z$ che non stanno dentro al cerchio aperto $D$ delimitato da $Gamma$; poichè il cerchio $D$ delimitato da $Gamma$ è un insieme limitato e poichè risulta $A=CC-D$, ne viene che $A$ non è limitato.
La risposta esatta è B.

Scusa la curiosità, df, ma a quale facoltà sei iscritto/a?

[df2]

"gugo82":[quote="df"]

Ne consegue che l'insieme $A$ del testo è costituito da tutti i punti $z$ che non stanno dentro al cerchio aperto $D$ delimitato da $Gamma$; poichè il cerchio $D$ delimitato da $Gamma$ è un insieme limitato e poichè risulta $A=CC-D$, ne viene che $A$ non è limitato.
La risposta esatta è B.

Scusa la curiosità, df, ma a quale facoltà sei iscritto/a?

[/quote]

ma io avrei detto invece che sono quelli dentro al cerchio. essendo >0 , come mai sono fuori e non dentro questa volta?

sostituire un punto non mi soddisfa, senza far conti e sostituire un punto però non vedo strada alcuna.

ingegneria informatica ,analisi primo appello 26 ma i numeri complessi li sto vedendo da oggi

[df2]

ho visto che basta far un esempio con $x^2 + y^2 = 1$, vorra idre che ci metterò un punto per capire meglio.

[Camillo]

Il centro della crf. è in $ ( -5i)$.

[gugo82]

Fatti di Geometria Elementare.

Siano $pi$ un piano, $P_0 in pi$ un punto, $r>0$ e $d:pi times pi to [0,+oo[$ la funzione che ad ogni coppia di punti $P,Q in pi$ associa la distanza $d(P,Q)$ di $P$ da $Q$.

La circonferenza di centro $P_0$ e raggio $r$ è il luogo dei punti $P$ che hanno distanza da $P_0$ uguale ad $r$, ossia è l'insieme ${P in pi:quad d(P,P_0)=r}$.

Il cerchio aperto di centro $P_0$ e raggio $r$ è il luogo dei punti $P$ che hanno distanza da $P_0$ minore di $r$, ossia è l'insieme ${P in pi:quad d(P,P_0)
L'insieme dei punti $P$ che hanno distanza da $P_0$ maggiore di $r$, ossia ${P in pi:quad d(P,P_0)>1/2}$, è detto esterno del cerchio di centro $P_0$ e raggio $r$.

Le definizioni di cerchio aperto e di esterno del cerchio sono abbastanza intuitive: stanno nel cerchio tutti i punti del piano che sono più vicini a $P_0$ rispetto a quelli della circonferenza di raggio $r$; stanno esternamente al cerchio tutti i punti che stanno più lontani da $P_0$ rispetto ai punti della circonferenza di raggio $r$.

Ora, come saprai i punti del piano $pi$, una volta che si sia fissato un riferimento cartesiano, sono immagini dei numeri complessi (ad ogni punto corrisponde uno ed un solo numero complesso); inoltre fissati $P,Q in pi$ e detti $z,zeta$ i numeri complessi corrispondenti a $P$ e $Q$, la distanza tra $P$ e $Q$ in $pi$ è uguale al modulo del numero complesso $z-zeta$, ossia $d(P,Q)=|z-zeta|$.
Fissiamo un riferimento su $pi$ e scegliamo $P_0=-5i$ ed $r=1/2$ e diciamo $z$ il generico numero complesso corrispondente al punto generico $P$ del piano.
Per quanto detto sopra, gli insiemi:

$Gamma={z in CC:quad |z+5i|=1/2} quad$, $quad D={z in CC:quad |z+5i|<1/2} quad$ ed $quad E={z in CC:quad |z+5i|>1/2}$

sono rispettivamente la criconferenza, il cerchio aperto e l'esterno del cerchio di centro $-5i$ e raggio $1/2$.

L'insieme $A$ del testo del tuo esercizio è l'unione di $Gamma$ ed $E$.
Se fai un disegnino ti renderai subito conto della situazione.

[gugo82]

Scusate, doppio post dovuto a problemi di linea.

[df2]

si ho capito. Avevo pensato anch'io all'intuizione geometrica di >1/2 == >raggio

grazie per la precisazione.