Scelta delle partizioni nell'integrale di Riemann
Un saluto a tutti. Ho una questione sulle partizioni scelte per l'integrale di Riemann.
Data una funzione $f:[a,b]\to R$, l'integrale di Riemann è definito prendendo partizioni qualunque di un intervallo $[a,b]$. Se ho una partizione $mathcal{P}=\{a=x_0,x_1,...,x_n=b\}$ e scelto un $t_i\in [x_i,x_{i-1}]$ per $i=1,...,n$, definisco l'ennesima somma di Riemann con $s_n=\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$. f risulterà integrabile se esiste finito il limite $\lim_{n\to\infty} s_n$.
Se scelgo partizioni regolari, dividendo l'intervallo $[a,b]$ in $n$ sottointervalli tutti di uguale lunghezza pari a $\frac{b-a}{n}$, la definizione di integrale risulta sempre verificata perché ho scelto una particolare partizione.
Se suppongo che la definizione di integrale di Riemann vale scegliendo partizioni regolari, come posso dimostrare che è valida scegliendo anche partizioni qualsiasi?
Parto da una qualunque partizione $mathcal{P}=\{a=x_0,x_1,...,x_n=b\}$ dell'intervallo $[a,b]$, devo cercare di rendere più fine questa partizione in modo da renderla regolare in maniera tale che posso concludere che $f$ è integrabile.
Grazie.
Data una funzione $f:[a,b]\to R$, l'integrale di Riemann è definito prendendo partizioni qualunque di un intervallo $[a,b]$. Se ho una partizione $mathcal{P}=\{a=x_0,x_1,...,x_n=b\}$ e scelto un $t_i\in [x_i,x_{i-1}]$ per $i=1,...,n$, definisco l'ennesima somma di Riemann con $s_n=\sum_{i=1}^n f(t_i)(x_i-x_{i-1})$. f risulterà integrabile se esiste finito il limite $\lim_{n\to\infty} s_n$.
Se scelgo partizioni regolari, dividendo l'intervallo $[a,b]$ in $n$ sottointervalli tutti di uguale lunghezza pari a $\frac{b-a}{n}$, la definizione di integrale risulta sempre verificata perché ho scelto una particolare partizione.
Se suppongo che la definizione di integrale di Riemann vale scegliendo partizioni regolari, come posso dimostrare che è valida scegliendo anche partizioni qualsiasi?
Parto da una qualunque partizione $mathcal{P}=\{a=x_0,x_1,...,x_n=b\}$ dell'intervallo $[a,b]$, devo cercare di rendere più fine questa partizione in modo da renderla regolare in maniera tale che posso concludere che $f$ è integrabile.
Grazie.
Risposte
Estratto da "Calculus" di J.Stewart
"Although we have defined $int_a^b f(x) dx$ by dividing $[a, b]$ into subintervals of equal width, there are situations in which it is advantageous to work with subintervals of unequal width …
If the subinterval widths are $Deltax_1, Deltax_2, …, Deltax_n$, we have to ensure that all these widths approach $0$ in the limiting process.
This happens if the largest width $max(Deltax_i)$, approaches $0$.
So in this case the definition of a definite integral becomes $int_a^b f(x) dx = lim_(max(Deltax_i)->0) sum_(i=1)^n f(x_i^(star)) Deltax_i$"
"Although we have defined $int_a^b f(x) dx$ by dividing $[a, b]$ into subintervals of equal width, there are situations in which it is advantageous to work with subintervals of unequal width …
If the subinterval widths are $Deltax_1, Deltax_2, …, Deltax_n$, we have to ensure that all these widths approach $0$ in the limiting process.
This happens if the largest width $max(Deltax_i)$, approaches $0$.
So in this case the definition of a definite integral becomes $int_a^b f(x) dx = lim_(max(Deltax_i)->0) sum_(i=1)^n f(x_i^(star)) Deltax_i$"
Grazie per la risposta ma non mi è molto chiara, il testo di Stewart ci dice che quando
abbiamo sottointervalli di lunghezza qualunque, per ricondurci al caso della definizione di integrale con partizione regolare è necessario che il max della lunghezza di questi sottointervalli tende a zero e quindi la definizione di integrale viene modificata nel modo $ int_a^b f(x) dx = lim_(max(Deltax_i)->0) sum_(i=1)^n f(x_i^(star)) Deltax_i $?
abbiamo sottointervalli di lunghezza qualunque, per ricondurci al caso della definizione di integrale con partizione regolare è necessario che il max della lunghezza di questi sottointervalli tende a zero e quindi la definizione di integrale viene modificata nel modo $ int_a^b f(x) dx = lim_(max(Deltax_i)->0) sum_(i=1)^n f(x_i^(star)) Deltax_i $?
Più che ricondursi alla definizione precedente ne dà un'altra molto simile ovvero invece di far tendere a zero la "larghezza" costante dell'intervallino, è sufficiente che tenda a zero la massima "larghezza" dell'intervallino.
Questa è la definizione che ne da lui in una nota.
Questa è la definizione che ne da lui in una nota.
In realtà, è una gran rottura passare dalla teoria fatta con le partizioni equispaziate a quella con le partizioni qualsiasi.
Tanto vale fare tutto con partizioni arbitrarie fin dall’inizio… Anche perché il gioco (i.e., inserire una tale “rigidità” nella definizione) non vale la candela (i.e., avere l’integrale definito come “limite” -che limite non è comunque- di una successione).
Fissata $f:[a,b] -> RR$ limitata, per ogni partizione $D:=\{ x_0
\begin{split}
s_f(D) &:= \sum_{k=1}^n \inf_{[x_{k-1}, x_k]} f\cdot (x_k - x_{k-1}) \\
S_f(D) &:= \sum_{k=1}^n \sup_{[x_{k-1}, x_k]} f\cdot (x_k - x_{k-1}) \\
\sigma_f(D; \xi_1,\ldots , \xi_n) &:= \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\cdot (x_k - x_{k-1})
\end{split}
\]
con $xi_k in [x_(k-1) , x_k]$ per ogni $k=1,...,n$; le somme sono ordinate come ovvio che siano, cioè $s_(f) (D) <= sigma_(f) (D; xi_1, ..., xi_n) <= S_(f) (D)$ e si dimostra che le classi delle somme inferiori e superiori sono separate, cioè $text(sup)_D s_(f) (D) <= text(inf)_D S_(f) (D)$.
Se tali classi sono contigue si dice che $f$ è integrabile ed il loro unico elemento separatore $lambda$ è chiamato integrale definito di $f$; altrimenti, la $f$ non è integrabile.
Nel primo caso, si vede che $|sigma_(f) (D;xi_1, ..., xi_n) - lambda| <= S_(f) (D) - s_(f) (D)$, sicché anche le somme integrali di Riemann approssimano l’integrale di $f$: ciò consente di recuperare in toto la teoria fatta con le somme integrali rispetto alle decomposizioni equispaziate nella teoria generale.
P.S.: Ma perché citare lo Stewart?
Tanto vale fare tutto con partizioni arbitrarie fin dall’inizio… Anche perché il gioco (i.e., inserire una tale “rigidità” nella definizione) non vale la candela (i.e., avere l’integrale definito come “limite” -che limite non è comunque- di una successione).
Fissata $f:[a,b] -> RR$ limitata, per ogni partizione $D:=\{ x_0
\begin{split}
s_f(D) &:= \sum_{k=1}^n \inf_{[x_{k-1}, x_k]} f\cdot (x_k - x_{k-1}) \\
S_f(D) &:= \sum_{k=1}^n \sup_{[x_{k-1}, x_k]} f\cdot (x_k - x_{k-1}) \\
\sigma_f(D; \xi_1,\ldots , \xi_n) &:= \sum_{k=1}^n f(\xi_k)\cdot (x_k - x_{k-1})
\end{split}
\]
con $xi_k in [x_(k-1) , x_k]$ per ogni $k=1,...,n$; le somme sono ordinate come ovvio che siano, cioè $s_(f) (D) <= sigma_(f) (D; xi_1, ..., xi_n) <= S_(f) (D)$ e si dimostra che le classi delle somme inferiori e superiori sono separate, cioè $text(sup)_D s_(f) (D) <= text(inf)_D S_(f) (D)$.
Se tali classi sono contigue si dice che $f$ è integrabile ed il loro unico elemento separatore $lambda$ è chiamato integrale definito di $f$; altrimenti, la $f$ non è integrabile.
Nel primo caso, si vede che $|sigma_(f) (D;xi_1, ..., xi_n) - lambda| <= S_(f) (D) - s_(f) (D)$, sicché anche le somme integrali di Riemann approssimano l’integrale di $f$: ciò consente di recuperare in toto la teoria fatta con le somme integrali rispetto alle decomposizioni equispaziate nella teoria generale.
P.S.: Ma perché citare lo Stewart?
avere l’integrale definito come “limite” -che limite non è comunque-Perché non è un limite?
"gugo82":
P.S.: Ma perché citare lo Stewart?
Semplicemente perché l'avevo sottomano e mi pareva dicesse qualcosa in merito ovvero rispondere al dubbio che quella definizione di integrale "funzionasse" solo con partizioni "regolari" … e dato che l'ho copiato pari pari, mi è sembrato giusto citarlo …
"solaàl":avere l’integrale definito come “limite” -che limite non è comunque-Perché non è un limite?
Perché non lo è, almeno non nel senso di Analisi I.
Per farlo diventare tale, bisogna generalizzare il concetto agli insiemi ordinati ed usare i filtri (cfr. Prodi, Analisi Matematica I).
Sì, è un limite su una rete, ma sempre un limite è, non capivo l'osservazione...
(Per essere poi davvero precisi, almeno nella definizione con le tagged Riemann sums, è un certo colimite; ma sempre di un universale si tratta...)
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