Scelta della curva per verificare la conservativitá
Ciao a tutti, spero che qualcuno possa aiutarmi a capire una cosa.
Quando devo stabilire a priori se un campo vettoriale è conservativo, devo verificare che la forma differenziale sia esatta e che il dominio sia semplicemente connesso.
Nell esercizio che posto in allegato la forma differenziale è irrotazionale ma il dominio non è semplicemente connesso, quindi, per verificare che il campo sia conservativo, posso controllare che l'integrale del campo vettoriale lungo una qualsiasi curva chiusa (il cui sostegno sia contenuto nel dominio del campo) sia 0.
La cosa che non capisco è come scegliere questa curva in modo tale che l'integrale sia di "rapida" o "semplice" risoluzione.
Ad esempio, in questo esercizio, la curva che è stata scelta è la seguente:
$r(t)={((x(t)-1)=cos(t)) , (sqrt3(y(t)-2)=sin(t)):} $ $ t in [0,2pi]$
Non capisco in che modo è stata scelta. In particolare non capisco quel $sqrt3$ , mentre $x(t)-1$ e $y(t)-2$ immagino siano dettati dal dominio. Giusto?
Spero che qualcuno mi aiuti a capire
Quando devo stabilire a priori se un campo vettoriale è conservativo, devo verificare che la forma differenziale sia esatta e che il dominio sia semplicemente connesso.
Nell esercizio che posto in allegato la forma differenziale è irrotazionale ma il dominio non è semplicemente connesso, quindi, per verificare che il campo sia conservativo, posso controllare che l'integrale del campo vettoriale lungo una qualsiasi curva chiusa (il cui sostegno sia contenuto nel dominio del campo) sia 0.
La cosa che non capisco è come scegliere questa curva in modo tale che l'integrale sia di "rapida" o "semplice" risoluzione.
Ad esempio, in questo esercizio, la curva che è stata scelta è la seguente:
$r(t)={((x(t)-1)=cos(t)) , (sqrt3(y(t)-2)=sin(t)):} $ $ t in [0,2pi]$
Non capisco in che modo è stata scelta. In particolare non capisco quel $sqrt3$ , mentre $x(t)-1$ e $y(t)-2$ immagino siano dettati dal dominio. Giusto?
Spero che qualcuno mi aiuti a capire
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Risposte
Probabilmente non è $sqrt(3)$, ma $sqrt(2)$.
Inoltre, ho idea che nella prima equazione parametrica ci debba essere$x+1$ al primo membro.
Infatti, dato che il denominatore è nella forma $a(x-x_0)^2+b(y-y_0)^2$ con $a,b>0$, la sostituzione:
\[
\left\{\begin{cases} x-x_0=\cos t\\ y-y_0=\sqrt{\frac{a}{b}}\ \sin t\end{cases}\right.
\]
trasformi il denominatore nella costante $a$.
Inoltre, ho idea che nella prima equazione parametrica ci debba essere$x+1$ al primo membro.
Infatti, dato che il denominatore è nella forma $a(x-x_0)^2+b(y-y_0)^2$ con $a,b>0$, la sostituzione:
\[
\left\{\begin{cases} x-x_0=\cos t\\ y-y_0=\sqrt{\frac{a}{b}}\ \sin t\end{cases}\right.
\]
trasformi il denominatore nella costante $a$.
Perdonami ho inserito la parametrizzazione dell esercizio precedente, comunque la tua risposta mi è stata di grande aiuto, grazie
La parametrizzazione corretta che compare nello svolgimento dell'esercizio è:
$r(t)={ (2(x(t)+1)=cos(t)) , (sqrt2(y(t)-2)=sin(t)):}$ $t in [o,2pi]$
Quindi la scelta della curva parametrica conviene farla osservando il dominio giusto? grazie ancora
La parametrizzazione corretta che compare nello svolgimento dell'esercizio è:
$r(t)={ (2(x(t)+1)=cos(t)) , (sqrt2(y(t)-2)=sin(t)):}$ $t in [o,2pi]$
Quindi la scelta della curva parametrica conviene farla osservando il dominio giusto?
grazie ancora
"bellrodo":
Quindi la scelta della curva parametrica conviene farla osservando il dominio giusto?
Beh, non solo il dominio, ma anche le componenti del campo.
Osservando il dominio capisci solo che devi prendere una curva chiusa attorno al "buco" del dominio (che è il punto $(-1,2)$), ma dai denominatori capisci che ti conviene scegliere delle ellissi centrate nel "buco" con appropriati semiassi.
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