Scambio serie/somma finita su successione doppio indice

[anto_zoolander]

Ciao!

mi è sorto un dilemma.
Data ${a_(k,i)}_((k,i) in NNtimesNN)$ quando è possibile dire che $sum_(k=1)^(n)sum_(i=1)^(+infty)a_(k,i)=sum_(i=1)^(+infty)sum_(k=1)^(n)a_(k,i)$?

un'ovvia partenza è data dal considerare quando $lim_(i->+infty)sum_(k=1)^(n)a_(k,i)=sum_(k=1)^(n)lim_(i->+infty)a_(k,i)$

questo si prova facilmente, sfruttando il teorema sulla somma dei limiti, per induzione su $n$ supponendo che $lim_(i->+infty)a_(k,i)$ esista per ogni $k$

ponendo $a_(k,i)=sum_(m=1)^(i)b_(k,m)$ e supponendo che $b_(k,m)geq0$ per ogni $(k,m) in NNtimesNN$ si ottiene chiaramente che per ogni $k in NN$ fissato il limite delle somme parziali esiste per monotonia.

quindi [size=85]

$sum_(m=1)^(+infty)sum_(k=1)^(n)b_(k,m)=lim_(i->+infty)sum_(m=1)^(i)sum_(k=1)^(n)b_(k,m)=lim_(i->+infty)sum_(k=1)^(n)sum_(m=1)^(i)b_(k,m)=lim_(i->+infty)sum_(k=1)^(n)a_(k,i)=sum_(k=1)^(n)lim_(i->+infty)a_(k,i)=sum_(k=1)^(n)sum_(m=1)^(+infty)b_(k,m)$

[/size]

è formalmente corretto?

[Reyzet]

Con passaggi simili basta che la serie $\sum_{i=1}^{\infty} a_{k,i}$ converga per ogni k da 1 a n, pensandola sempre come limite di somme parziali, no? Senza fare ipotesi sul segno dei termini.
Tra l'altro questa cosa a quanto lessi tempo fa è conseguenza del teorema di Fubini in qualche modo.

Comunque l'anno scorso a lezione vedemmo pure un risultato analogo di scambio di sommatorie per due serie, senza che una delle due somme sia finita, però ci devono essere varie ipotesi di convergenza.

[anto_zoolander]

si basta che converga.
Mi serviva perché dovevo giustificare un passaggio in particolare sul fatto che $lambda(A)=int_(A)phidmu$, $phi$ semplice, fosse una misura.