Scambio serie e limite

[anto_zoolander]

Non trovando nè enunciati nè tantomeno dimostrazioni(giustamente) ho provato a dimostrarlo da me.

Come ipotesi ho messo che
sia $f:NNtimesA->RR$ successione di funzioni e siano $s:NNtimesA->RR$ la somma parziale(di funzioni) associata e $s’:A->RR$ un’altra funzione. Sia inoltre $x_0 inD(A)$($A$ lo prendo in $RR$ ma penso vada bene pure se $AsubseteqRR^n$ normato)

Se $forallk inNNexistsl_k inRR:lim_(x->x_0)f_k(x)=l_k$ e $s->s’$ uniformemente in $A$ allora $sum_(n=0)^(infty)lim_(x->x_0)f_n(x)=lim_(x->x_0)sum_(n=0)^(infty)f_n(x)$

Ora si ha che fissato un qualsiasi $k inNN$
$lim_(x->x_0)s_k(x)=lim_(x->x_0)sum_(n=0)^(k)f_n(x)$
Poiché $f_0,..,f_k$ ammettono limite finito allora il limite si scompone nella somma dei limiti

$lim_(x->x_0)sum_(n=0)^(k)f_n(x)=sum_(n=0)^(k)lim_(x->x_0)f_n(x)=sum_(n=0)^(k)l_n$

Pertanto posto $t_k=sum_(n=0)^(k)l_n$ si ottiene che $forallk inNNexistst_kinRR:lim_(x->x_0)s_k(x)=t_k$

Per il teorema sullo scambio dei limiti di una successione di funzioni si ottiene

$lim_(x->x_0)lim_(k->+infty)s_k(x)=lim_(k->+infty)lim_(x->x_0)s_k(x)$

A sinistra è $lim_(x->x_0)sum_(n=0)^(infty)f_n(x)$

A destra è $lim_(k->+infty)lim_(x->x_0)s_k(x)=lim_(k->+infty)t_k=sum_(n=0)^(infty)l_n=sum_(n=0)^(infty)lim_(x->x_0)f_n(x)$

In spoiler giustifico alcuni passaggi

Poiché $s->s’$ uniformemente si ha che $|t_n-t_m|leq|t_n-s_n(x)|+|s_n(x)-s_m(x)|+|s_m(x)-t_m|$
Dalla convergenza uniforme segue che $s$ è uniformemente di Cauchy dunque per ogni $epsilon>0$ è opportuni $n_0inNN,delta>0$ si avrà $|t_n-t_m|n_0$
Pertanto fissando $x$ in quella intersezione di ottiene che $(t_k)$ è di Cauchy e pertanto $existst inRR:t_k->t$

Ovvero $t=lim_(k->+infty)t_k=lim_(k->+infty)sum_(n=0)^(k)l_n=sum_(n=0)^(infty)l_n$
Quindi la serie dei limiti converge. Ovvero $t=sum_(n=0)^(infty)lim_(x->x_0)f_n(x)$

D’altro canto $s’(x)->t$ infatti basta considerare che
$|s’(x)-t|leq|s’(x)-s_k(x)|+|s_k(x)-t_k|+|t_k-t|$

[Sk_Anonymous]

Stavo pensando a se fosse lecito indebolire l'ipotesi di continuita' delle \(f_n\) in \(x_0\) (che di solito in realta' si assume); credo che lo sia. Ed in effetti perdi qualcosa: perdi la continuita' di \(f(x) = \sum f_n(x)\) in \(x_0\).

[killing_buddha]

Ma si può dimostrare questo fatto applicando la convergenza dominata?

[anto_zoolander]

Ma siete graziosi
È giusta ?

@delirium
Si in alcuni casi al posto di ammettere limite le $f_k$ si richiedono continue, però qui non era necessario :-K

@killing
La misura si fa al terzo anno da me(se parli di questo)

[killing_buddha]

Non penso sia rilevante a che anno si fa qualcosa, per chiedersi se lo si può usare semplicemente non credo nel concetto di "dimostrazione elementare".

[anto_zoolander]

Non vuoi proprio dirmelo.

[Sk_Anonymous]

A me sembra corretta (magari da sistemare un pochino l'enunciato). Torno dopo alla domanda di k_b.

[anto_zoolander]

Si magari renderlo più stringato, comunque grazie

@killing
Solitamente non uso teoremi di cui non ho fatto e capito la dimostrazione, capita raramente

[killing_buddha]

"anto_zoolander":@killing
Solitamente non uso teoremi di cui non ho fatto e capito la dimostrazione, capita raramente

Abìtuati.

[anto_zoolander]

Finché posso tengo duro

[Bremen000]

Ciao, per quanto la mia opinione sia infinitamente meno importante di quella di coloro che mi hanno preceduto, volevo solo dare una parziale riposta a killing:
per quanto ne so io, così come è messa la questione, la convergenza monotona non si può usare, serve una dominante in $l^1$ che però sarebbe come chiedere la convergenza totale della serie quindi un ipotesi più forte! Aspetto smentite!