Scambio di operazioni di integrazione e derivazione

[TS778LB]

Qualcuno può spiegarmi come da $ \frac{\partialq}{\partialt} $, esprimendo $q$ come $ \int_\tau\rhod\tau $, si arrivi a $ \int_\tau\frac{\partial\rho}{\partialt}d\tau $?

[mobley]

Te lo dico perchè lo ripetono spesso anche a me: se non definisci cosa sono $q,\rho,\tau$ non ti si può aiutare. In via del tutto generale lo scambio tra derivata ed integrale richiede una certa regolarità della funzione integranda e, verificato questo, l'applicazione del teorema di Tonelli.

[giovx24]

"arnett":Che c'entra il teorema di Tonelli?

Se è quello che penso hai che $\rho=\rho(x, t)$, e la sta integrando solo nello spazio, $x$ uno, due o tre dimensionale, non importa. Allora se $\rho$ è regolare vale che

$\partial_t \int_\tau \rho(x, t)d\tau= \int_\tau \partial_t\rho(x, t)d\tau$

questo chiaramenta ha delle ipotesi, che puoi trovare su ogni libro di analisi in cui si parli di misura di Lebesgue. Di solito, quando si fanno questi conti, si spera che $\rho$ sia regolare.

qual è la definizione di funzione regolare?

grazie

[mobley]

"arnett":Che c'entra il teorema di Tonelli?

Centra tutto. Stavolta devo contraddirti (ci sto impelagato da un mese su ste cose ahimè). A meno che tu non voglia contraddire anche il mio docente
E' proprio per Fubini-Tonelli che si può passare da $\int_(t)^(T)[\alpha(t,s)dt]ds$ a $\int_(t)^(T)[\alpha(t,s)ds]dt$ data $\alpha$ regolare:

[Mephlip]

Mobley attenzione, stai confondendo scambio dell'ordine di integrazione negli integrali multipli con derivazione sotto il segno di integrale.

[mobley]

"Mephlip":Mobley attenzione, stai confondendo scambio dell'ordine di integrazione negli integrali multipli con derivazione sotto il segno di integrale.

Hai ragione Mephlip, ormai sono fuso da 'sto studio maledetto, non avevo capito che l'autore chiedeva su quali basi si potesse portare la derivata nell'integrale.
Mi vedo costretto a chiedere venia all'esimio arnett

[Mephlip]

Tranquillo, capita a tutti di confondersi perché si è cotti o semplicemente di sbagliare l'importante è sempre portare avanti le proprie convinzioni con educazione, come tu hai fatto.