Scambio di limite e integrale

[stelladinatale1]

Ho $\eta_.:[0,\infty)\to X$ una funzione continua a destra e con limite a sinistra (indicheremo $\eta(t)=\eta_t$) e $f\inC(X)$ ($f$ è quindi una funzione continua da $X$ in $\mathbb{R}$).
In una dimostrazione il mio libro sembra fare il seguente passaggio:
$\lim_{t\to t_0^+}\intf(\eta_t)dP=\intf(\eta_{t_0})dP$
dove $P$ è una misura (di probabilità) sull'insieme delle funzioni $[0,\infty)\toX$ continue a destra e con limite a sinistra.
Ora sembra che in quel passaggio il libro scambi il limite con l'integrale.
Ma che teorema applica per farlo? A me non sembra di essere nelle ipotesi dei teoremi di convergenza monotona o dominata...
Grazie a tutti

[dissonance]

Cos'è $X$? Se è uno spazio topologico compatto, e quindi $f$ è limitata, siamo a posto perché possiamo concludere per convergenza dominata.

[stelladinatale1]

Hai ragione, $X$ è uno spazio topologico compatto.
Grazie mille davvero!!!