Scambio dell'ordine di due limiti

[Ernesto011]

Mentre cercavo di dimostrare il teorema d'inversione della derivata di Schwarz ,utilizzando una strada mia e un po' contorta, mi sono ritrovato a dover calcolare il seguente limite:
$ lim_(t->0)(lim_(h->0)(f_y(x+h,y+lambda)-f_y(x,y+delta))/h) $
con
$ 0 $ 0 Io ho pensato di farlo così
$ lim_(t->0)(lim_(h->0)(f_y(x+h,y+lambda)-f_y(x,y+delta))/h)=lim_(h->0)(lim_(t->0)(f_y(x+h,y+lambda)-f_y(x,y+delta))/h)=lim_(h->0)(lim_(t->0)(f_y(x+h,y)-f_y(x,y))/h)=fyx $
Il secondo uguale segue dalla continuità della derivata parziale (un'ipotesi del teorema).
Il terzo è la definizione e quindi non devo dimostrare la corretteza del passaggio.
Riguardo il primo invece, ho invertito l'ordine dei 2 limiti. E' un passaggio lecito?
Grazie, vanno bene anche delle idee!