Scambio del limite con la derivata
Buongiorno e buona domenica a tutti.
Sto leggendo e studiando il teorema da titolo, dal libro Analisi 2 di Pagani, Salsa-seconda edizione.
La prima parte del teorema sembra essermi chiara, cioè dove si prova la convergenza, invece la seconda parte dove si prova derivabilità non molto. Riporto l'enunciato e la dimostrazione.
Teorema :
Sia $f_n: (a,b) to RR$ successione di funzioni derivabili, se
i) la successione delle derivata ${f'_n}$ converge uniformemente in $(a,b)$ con limite $g$,
ii) la successione delle funzioni ${f_n}$ converge almeno in un punto $t_0 in (a,b)$,
allora
th.1 ${f_n}$ converge uniformemente in $(a,b)$, con limite $f$.
th.2 $f$ risulta derivabile e $f'=g.$
Dimostrazione:
Dimostro prima la th.1.
Preso $t in (a,b) : t ne t_0$, e considero la funzione $f_n(t)-f_m(t)$, la quale è differenza di funzioni derivabili, quindi, derivabile in $(a,b).$
Pertanto applico il teorema di Lagrange a tale funzione in $(t,t_0) subseteq (a,b)$, allora esiste $alpha in (t,t_0)$ tale che
Preso un $epsilon>0$ esiste un $N=N(epsilon)$ tale che se $n,m>N$ allora:
per la i) $|f_n(t_0)-f_m(t_0)|
risulta
Dimostrio la th.2.
Preso $t in (a,b)$ e scelto $h>0$ in modo tale che $t+h in (a,b). $
Considero il rapporto incrementale
Spezzo i punti per parte.
Parte 1
Osservo che fissato $t$, la successione ${g_n}$ converge uniformemente rispetto ad $h$ in $(a-t, b-t)$, infatti applicando il teorema di Lagrange con $t$\qquad\qquad\qquad\qquad g_n(t,h)-g_m(t,h)=1/h[(f_n(t+h)-f_m(t+h))-(f_n(t)-f_m(t))]$
Sto leggendo e studiando il teorema da titolo, dal libro Analisi 2 di Pagani, Salsa-seconda edizione.
La prima parte del teorema sembra essermi chiara, cioè dove si prova la convergenza, invece la seconda parte dove si prova derivabilità non molto. Riporto l'enunciato e la dimostrazione.
Teorema :
Sia $f_n: (a,b) to RR$ successione di funzioni derivabili, se
i) la successione delle derivata ${f'_n}$ converge uniformemente in $(a,b)$ con limite $g$,
ii) la successione delle funzioni ${f_n}$ converge almeno in un punto $t_0 in (a,b)$,
allora
th.1 ${f_n}$ converge uniformemente in $(a,b)$, con limite $f$.
th.2 $f$ risulta derivabile e $f'=g.$
Dimostrazione:
Dimostro prima la th.1.
Preso $t in (a,b) : t ne t_0$, e considero la funzione $f_n(t)-f_m(t)$, la quale è differenza di funzioni derivabili, quindi, derivabile in $(a,b).$
Pertanto applico il teorema di Lagrange a tale funzione in $(t,t_0) subseteq (a,b)$, allora esiste $alpha in (t,t_0)$ tale che
$f_n(t)-f_m(t)=f_n(t_0)-f_m(t_0)-(t-t_0)(f'_n(alpha)-f'_m(alpha))$
per la d.t segue $|f_n(t)-f_m(t)|<=|f_n(t_0)-f_m(t_0|+(b-a)|f'_n(alpha)-f'_m(alpha)|.$
Preso un $epsilon>0$ esiste un $N=N(epsilon)$ tale che se $n,m>N$ allora:
per la i) $|f_n(t_0)-f_m(t_0)|
risulta
$|f_n(t)-f_m(t)|<(1+b-a)epsilon.$
Dal criterio di Cauchy per la convergenza uniforme si ha la th.1, con limite $f(t)=lim_(n to + infty)f_n(t).$Dimostrio la th.2.
Preso $t in (a,b)$ e scelto $h>0$ in modo tale che $t+h in (a,b). $
Considero il rapporto incrementale
$(f(t+h)-f(t))/h=lim_(n to + infty)(f_n(t+h)-f_n(t))/h=:lim_(n to + infty)g_n(t,h).$
Spezzo i punti per parte.
Parte 1
Osservo che fissato $t$, la successione ${g_n}$ converge uniformemente rispetto ad $h$ in $(a-t, b-t)$, infatti applicando il teorema di Lagrange con $t
$=f'_n(beta)-f'm(beta)$
la convergenza uniforme di ${g_n(t,h)}$ rispetto ad $h$ segue dalla convergenza uniforme della successione ${f'_n}.$
La dimostrazione continua, per non incasinare mi fermo con la dimostrazione.
In questa parte si è dimostrato che la successione ${g_n}$ è convergente uniformemente in $(a-t, b-t)$ ?
Se si perché prima dice ${g_n}$ conv..... e infine dice ${g_n(t,h)}$ vuole dire la stessa cosa?
Inoltre, non mi è chiaro perché si prende come intervallo proprio $(a-t,b-t)$
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
$g_n$ e $g_n(t, h)$ sono la stessa cosa, in un caso specifichi la variabile, nell'altro no.
Si prende quell'intervallo perché è per quei valori di $h$ che $t+h\in (a, b)$.
Comunque hai dimostrato solo che è derivabile a destra.
Si prende quell'intervallo perché è per quei valori di $h$ che $t+h\in (a, b)$.
Comunque hai dimostrato solo che è derivabile a destra.
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