Scambiare derivata e valore atteso

[qwertyuio1]

Se $X(t)$ è una variabile aleatoria (discreta o continua) per ogni $t\in[0,1]$, di quali condizioni ho bisogno per poter affermare che
$\exists d/(dt)E[X(t)] = E[d/(dt)X(t)]$ ?
(con $E[.]$ indico il valore atteso)

[dissonance]

Hai bisogno di qualche teorema di passaggio al limite, da applicare al rapporto incrementale (fatto rispetto al parametro $t$). Per esempio se il rapporto incrementale $\frac{X(t+h)-X(t)}{h}$ è dominato da qualche v.a. sommabile per ogni $h$, tutto fila liscio. Guarda negli appunti di Soardi, c'è un paragrafo intitolato Integrali dipendenti da parametro (pag.55 della numerazione del file) che fa al caso tuo.

[qwertyuio1]

Grazie! Adesso darò un'occhiata.
Ma se invece di una distribuzione continua ho una distribuzione discreta (quindi ho una serie al posto di un integrale), ho qualche altro teorema a disposizione?

[dissonance]

In linea teorica è sempre lo stesso discorso. Dal punto di vista della teoria della misura, infatti, il valore atteso della v.a. [tex]X[/tex] definita sullo spazio dei campioni [tex](\Omega, \mathfrak{F}, \mathbf{P})[/tex] è:

[tex]$\mathbf{E}(X)=\int_{\Omega}X\, d\mathbf{P}[/tex]

quindi è sempre un integrale di Lebesgue e come tale ha a disposizione i relativi teoremi di passaggio al limite, in particolar modo quelli della convergenza dominata e monotona. Nei casi particolari di v.a. assolutamente continue e discrete questo integrale così astratto si specializza in un integrale su [tex]\mathbb{R}[/tex] con la misura di Lebesgue e in una serie, rispettivamente; i teoremi di passaggio al limite restano a nostra disposizione.

Nell'ultimo caso abbiamo in più i teoremi classici di derivazione per serie di funzioni: se una serie di funzioni derivabili è convergente, e la serie delle derivate è uniformemente convergente, allora anche la serie originaria è uniformemente convergente ad una funzione derivabile e si può derivare termine a termine.