Sapreste motivare i passaggi di questo integrale x piacere?

[smorzino]

buonasera sto preparando l' esame di elettrotecnica e c'è un integrale che non saprei risolvere.
sul libro fortunatamente ci sono anche i passaggi per risolverlo ma poichè la matematica non è un'opinione, tali passaggi hanno senz'altro anche un motivo e mi miacerebbe conoscerlo.

ringrazio in anticipo chi risponderà e mi aiuterà a capire.

$-\int dz/sqrt(y^2+z^2) = -\int dz/sqrt(y^2+z^2) *(z+sqrt(y^2+z^2))/(z+sqrt(y^2+z^2)) $ perchè moltiplica sopra e sotto per $(z+sqrt(y^2+z^2))$ ??
io avrei moltiplicato e diviso per la derivata del denominatore (che se non sbaglio è $z/sqrt(y^2+z^2)$) in modo da poterlo integrare come un logaritmo... ma poi ci sarebbe stato da integrare per parti $-int dz/sqrt(y^2+z^2) * z/sqrt(y^2+z^2) * sqrt(y^2+z^2)/z $ e magari sarebbe stato complicato.
invece qui prosegue così:

$=-int (d(z+sqrt(y^2+z^2)))/(z+sqrt(y^2+z^2))$
da dove salta fuori?? forse c'entra il calcolo differenziale??
vabbè poi arrivato qui come è ovvio il risultato è
$=-ln(z+sqrt(y^2+z^2))+k$

spero di essere stato chiaro e di ricevere tante belle risposte.
grazie ancora!
a presto.

[adaBTTLS1]

quando si usano delle "manipolazioni", si può dire come si giustificano i passaggi, non come ci si è arrivati a decidere di scegliere quella strada.
se provi a fare la derivata, rispetto a z, del termine che ha moltiplicato, hai:

$D[z+sqrt(y^2+z^2)]=1+z/sqrt(y^2+z^2)=(z+sqrt(y^2+z^2))/sqrt(y^2+z^2)$

dunque

$d[z+sqrt(y^2+z^2)]=(z+sqrt(y^2+z^2))/sqrt(y^2+z^2) dz$

spero sia chiaro. ciao.

[smorzino]

sisi chiarissimo!

grazie mille

[adaBTTLS1]

prego!

[K.Lomax]

Beh quell'integrale è diretto e fa $sinh^(-1)(z/y)$ che è esprimibile in forma esplicita come un logartimo, come è stato dimostrato

[gugo82]

"K.Lomax":Beh quell'integrale è diretto e fa $sinh^(-1)(z/y)$ che è esprimibile in forma esplicita come un logartimo, come è stato dimostrato

Se $y!=0$...