Salve ho ricevuto una notizia che....

[CrisLoveStefy]

Salve ho ricevuto una notizia terribile: Il professore chiede l'immagine di questa funzione

f(x) = $\arctan(x)-(pi/2)+1/(x+1)


e stabilire il numero di soluzioni dell'equazione $\arctan(x)= (pi/2)-1/(x+1)


cosa devo fare? Come si studia la funzione

[CrisLoveStefy]

Come s fa a studiare la prima funzione ì? Intanto ho posto che x+1 essendo al denominatore deve essere diverso da 0. E quindi x diverso da -1. E poi?
Ho guardato per fare prima il grafico con derive.

[Luca.Lussardi]

Prima di studiare la $f$ io disegnerei $\arctan(x)-\pi/2$ e $-1/(x+1)$ e vedrei le loro intersezioni.

Poi se vuoi puoi studiare con calma la funzione $f$.

[fireball1]

Se guardi bene, la seconda richiesta (quella sull'equazione)
dice di determinare quanti sono gli zeri di quella funzione,
quindi usa il Teorema degli zeri e la monotonia
di f in determinati intervalli per stabilire rispettivamente
l'esistenza e l'unicità di tali zeri.

Per l'immagine, non ti sarà difficile verificare,
studiando la derivata prima, che f è strettamente
decrescente in $(-oo,-1)$ e in $(-1,0)$ mentre è
invece strettamente crescente in $(0,+oo)$,
quindi $x=0$ è punto di minimo locale.
Inoltre f è definita in $RR\\{-1}$, e i limiti
di f nei punti di frontiera del suo dominio sono:
$"per " x-> -1^+ : +oo
$"per " x->-1^- : -oo
$"per " x->+oo: 0
$"per " x->-oo: -pi
Dalla monotonia della funzione e dallo studio dei limiti
si può allora concludere che:
$"im f"=(-oo,-pi) uu [1-pi/2,+oo)
dove $1-pi/2=f(0)