Ruolo del dominio e codominio nelle funzioni composte
Non riesco a capire perchè spesso vedo funzioni come $ sqrt( x) $ considerate come funzioni che vanno da $RR$ in $RR$.... ma non è vero!! Tecnicamente il dominio va da $ RR $ positivo a $RR$ positivo.
In particolare noto queste "estensioni" di dominio nel caso di funzioni composte,in cui è molto importante calcolare dominio e codominio per assicurarisi che la composizione sia possibile o meno.
Ad esempio il mio professore ha assegnato:
$ f(x)=sqrt( ) $ ,con $f(x)$:$RR$->$RR$ e $g(x)=sen(x)$ con $g(x)$:$RR$->$RR$ , mentre si sa che il codomio di f(x) è $RR$ positivo e non $RR$ , e il codominio di $g(x)$ è $-1<=x<=1$
Ora, va bene che ai fini della composizione non cambia niente perchè posso fare comunque $g(f(x))$ , dato che l'intersezione tra dominio di g e codominio di f non è l'insieme vuoto, però non riesco a spiegarmi che bisogno c'è di scrivere che il dominio va da $RR$ in $RR$, cioè perchè si generalizza
In particolare noto queste "estensioni" di dominio nel caso di funzioni composte,in cui è molto importante calcolare dominio e codominio per assicurarisi che la composizione sia possibile o meno.
Ad esempio il mio professore ha assegnato:
$ f(x)=sqrt( ) $ ,con $f(x)$:$RR$->$RR$ e $g(x)=sen(x)$ con $g(x)$:$RR$->$RR$ , mentre si sa che il codomio di f(x) è $RR$ positivo e non $RR$ , e il codominio di $g(x)$ è $-1<=x<=1$
Ora, va bene che ai fini della composizione non cambia niente perchè posso fare comunque $g(f(x))$ , dato che l'intersezione tra dominio di g e codominio di f non è l'insieme vuoto, però non riesco a spiegarmi che bisogno c'è di scrivere che il dominio va da $RR$ in $RR$, cioè perchè si generalizza
Risposte
Questa è una tipica sottigliezza che spesso può mandare nel pallone. Mettila così: se lui ti dicesse, sia $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ la funzione $f(x)=\sqrt{x}$, la prima cosa che faresti sarebbe calcolare il dominio, e quindi affermare che (con un po' di ragionamento) che la funzione $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+$.
In generale la prima cosa che ho scritto è una simbologia "pratica" per dire che stiamo considerando funzioni reali di variabile reale: ovviamente domini e codomini, in generale, non coincidono con tutto l'insieme dei numeri reali. Sarebbe effettivamente più giusto scrivere direttamente una cosa del tipo $f:D\subset\mathbb{R}\to A\subset\mathbb{R}$ dove $D$ è il dominio della funzione e $A$ l'immagine (anche se, in generale, mettere tutto l'insieme reale come punto d'arrivo non è un problema in quanto il codominio, per definizione, può essere tranquillamente più grande dell'immagine).
In generale la prima cosa che ho scritto è una simbologia "pratica" per dire che stiamo considerando funzioni reali di variabile reale: ovviamente domini e codomini, in generale, non coincidono con tutto l'insieme dei numeri reali. Sarebbe effettivamente più giusto scrivere direttamente una cosa del tipo $f:D\subset\mathbb{R}\to A\subset\mathbb{R}$ dove $D$ è il dominio della funzione e $A$ l'immagine (anche se, in generale, mettere tutto l'insieme reale come punto d'arrivo non è un problema in quanto il codominio, per definizione, può essere tranquillamente più grande dell'immagine).
Ok,e se trovo invece: $f(x):(0,20)\to\RR$ , c'è da fare lo stesso ragionamento?Cioè considero una funzione definita per valori da 0 a 20 ,le cui immagini appartengono ai reali,giusto?
In questo caso, ovviamente, il dominio su cui potrai scegliere i valori delle $x$ si restringe al solo intervallo $(0,20)$ (ma potrebbe essere benissimo più piccolo, ad esempio $f(x)=\sqrt{-x^2+20x-19}$ è definita su quell'intervallo ma il suo dominio è più piccolo) e. come prima, in generale il codominio è $\mathbb{R}$ ma la sua immagine può essere ben diversa (nell'esempio che ti ho fatto $\mathrm{Im}(f)=[0,9)$).
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