$RR^n$ e $emptyset$
Buonasera.
Ho le seguenti definizioni.
Sia $EsubseteqRR^n$.
$E$ aperto se per ogni $x$ in $E$, $x$ è interno,
$E$ chiuso se $CE$ è aperto.
L'insieme vuoto è aperto perché la definizione non viene negata ?
$RR^n$ è aperto. $CRR^n=emptyset$ quindi è chiuso.
Infine, $Cemptyset=RR^n$, quindi l'insieme vuoto è chiuso.
Ora viene detto che sono gli unici ad essere contemporaneamente sia chiusi ed aperti.
Qui, ho una domanda, oltre a quella di sopra,
Ma questo è vero in $RR^n$ ? Perché in un mio topic precedente https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=227145 l'insieme $E$ è sia chiuso che aperto. Quindi, non dovrebbe essere unico.
Ora, se volessi comunque provare questa affermazione, dovrei procedere per assurdo ?
Ho le seguenti definizioni.
Sia $EsubseteqRR^n$.
$E$ aperto se per ogni $x$ in $E$, $x$ è interno,
$E$ chiuso se $CE$ è aperto.
L'insieme vuoto è aperto perché la definizione non viene negata ?
$RR^n$ è aperto. $CRR^n=emptyset$ quindi è chiuso.
Infine, $Cemptyset=RR^n$, quindi l'insieme vuoto è chiuso.
Ora viene detto che sono gli unici ad essere contemporaneamente sia chiusi ed aperti.
Qui, ho una domanda, oltre a quella di sopra,
Ma questo è vero in $RR^n$ ? Perché in un mio topic precedente https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=227145 l'insieme $E$ è sia chiuso che aperto. Quindi, non dovrebbe essere unico.
Ora, se volessi comunque provare questa affermazione, dovrei procedere per assurdo ?
Risposte
Il problema è che dire "aperto" e "chiuso" senza specificare "rispetto a quale topologia" è un'amenità.[nota]Leggi: "una cosa priva di alcun senso".[/nota]
I concetti di "insieme aperto", "punto interno", "punto di accumulazione", "punto di frontiera", "punto esterno", "insieme chiuso", "insieme denso", etc... Sono tutti concetti topologici, cioè dipendono dalla topologia di cui doti lo spazio ambiente.
Se la topologia su $RR^n$ è quella naturale, accadono alcune cose; se è un'altra (tipo quella discreta, indotta dalla metrica discreta del tuo post precedente), accadono altre cose.
Ed in ciò non c'è nulla di strano.
"quindi è chiuso" chi?
Insomma, chi è il soggetto di "è chiuso" in quella subordinata?
Questo è vero.
I concetti di "insieme aperto", "punto interno", "punto di accumulazione", "punto di frontiera", "punto esterno", "insieme chiuso", "insieme denso", etc... Sono tutti concetti topologici, cioè dipendono dalla topologia di cui doti lo spazio ambiente.
Se la topologia su $RR^n$ è quella naturale, accadono alcune cose; se è un'altra (tipo quella discreta, indotta dalla metrica discreta del tuo post precedente), accadono altre cose.
Ed in ciò non c'è nulla di strano.
"compa90":
$RR^n$ è aperto. $CRR^n=emptyset$ quindi è chiuso.
"quindi è chiuso" chi?
Insomma, chi è il soggetto di "è chiuso" in quella subordinata?
"compa90":
Infine, $Cemptyset=RR^n$, quindi l'insieme vuoto è chiuso.
Questo è vero.
Si, hai ragione... comunque in $RR^n$ metrica euclidea.
Infatti si....
"quindi è chiuso" chi?
Insomma, chi è il soggetto di "è chiuso" in quella subordinata?.[/quote]
Volevo scrivere aperto.
"gugo82":
I concetti di "insieme aperto", "punto interno", "punto di accumulazione", "punto di frontiera", "punto esterno", "insieme chiuso", "insieme denso", etc... Sono tutti concetti topologici, cioè dipendono dalla topologia di cui doti lo spazio ambiente.
Se la topologia su $ RR^n $ è quella naturale, accadono alcune cose; se è un'altra (tipo quella discreta, indotta dalla metrica discreta del tuo post precedente), accadono altre cose.
Ed in ciò non c'è nulla di strano.
Infatti si....
"gugo82":
[quote="compa90"]$ RR^n $ è aperto. $ CRR^n=emptyset $ quindi è chiuso.
"quindi è chiuso" chi?
Insomma, chi è il soggetto di "è chiuso" in quella subordinata?.[/quote]
Volevo scrivere aperto.
"compa90":
[quote="gugo82"][quote="compa90"]$ RR^n $ è aperto. $ CRR^n=emptyset $ quindi è chiuso.
"quindi è chiuso" chi?
Insomma, chi è il soggetto di "è chiuso" in quella subordinata?.[/quote]
Volevo scrivere aperto.[/quote]
La differenza tra attributo e soggetto credo debba essere nota dalle scuole inferiori, o dalle elementari addirittura...
Vai a camminare in posti migliori...ciao ciao
Comunque per chi volesse continuare il discorso sono felice di riprenderlo..
[xdom="gugo82"]
Forse non te ne sei reso ancora conto, ma ognuno ha il suo ruolo su queste pagine.
E quando un moderatore ti fa notare che non leggi con attenzione le domande che ti vengono poste, preferendo rispondere a domande che ti stai inventando, non è il moderatore a sbagliare o ad andare fuori tema, ma tu.
E quando un docente esperto della materia ti fa notare che hai dei problemi nella gestione dei quantificatori e idee molto confuse, non è il moderatore a sbagliare o ad essere offensivo, ma sei tu a dover provare a mettere ordine nei tuoi pensieri prima di scrivere. [/xdom]
Comunque per chi volesse continuare il discorso sono felice di riprenderlo..
[xdom="gugo82"]
"compa90":
Vai a camminare in posti migliori...ciao ciao
Forse non te ne sei reso ancora conto, ma ognuno ha il suo ruolo su queste pagine.
E quando un moderatore ti fa notare che non leggi con attenzione le domande che ti vengono poste, preferendo rispondere a domande che ti stai inventando, non è il moderatore a sbagliare o ad andare fuori tema, ma tu.
E quando un docente esperto della materia ti fa notare che hai dei problemi nella gestione dei quantificatori e idee molto confuse, non è il moderatore a sbagliare o ad essere offensivo, ma sei tu a dover provare a mettere ordine nei tuoi pensieri prima di scrivere.
[/xdom]
Visto che sei un moderatore, dimmi se un moderatore ha la possibilità di usare termini fuori luogo... giusto per regolarmi..
[xdom="gugo82"]Di grazia, quali sarebbero i termini fuori luogo?
Sarò lieto di discutere la questione con te in PM.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Di grazia, quali sarebbero i termini fuori luogo?
Sarò lieto di discutere la questione con te in PM.[/xdom]
No, la discussione per me finisce qui con te, perché il modo di interagire non lo trovo adeguato...
Comunque, riprendo la discussione in esame.
Voglio verificare che gli unici insiemi in $RR^n$ ad essere contemporaneamente chiusi ed aperti sono $emptyset$ e $RR^n$, rispetto alla metrica euclidea.
Quindi, formalizzo l'enunciato
$EsubseteqRR^n$ tale che $E$ risulti chiuso e aperto contemporaneamente, allora necessariamente $E=emptyset$ oppure $E=RR^n$, rispetto alla metrica euclidea.
Suppongo per assurdo che $Eneemptyset$ e $EneRR^n$ contemporaneamente .
a)Se l'insieme $E$ è aperto allora risulta $E=E^circ$ cioè coincide con l'insieme dei punti interni.
b)Se l'insieme $E$ è chiuso allora risulta $\partialEsubseteqE$ cioè l'insieme $E$ contiene i suoi punti di frontiera
Quindi dalle precedenti osservazioni a), b) segue che $partialEsubseteqE^circ$.
Se $x$ è un punto di frontiera per $E$ allora in ogni suo intorno cadono sia punti di $E$ e sia punti del $CE$, quindi, $x$ non può essere interno a $E$ .
Potrebbe andare bene come dimostrazione
Comunque, riprendo la discussione in esame.
Voglio verificare che gli unici insiemi in $RR^n$ ad essere contemporaneamente chiusi ed aperti sono $emptyset$ e $RR^n$, rispetto alla metrica euclidea.
Quindi, formalizzo l'enunciato
$EsubseteqRR^n$ tale che $E$ risulti chiuso e aperto contemporaneamente, allora necessariamente $E=emptyset$ oppure $E=RR^n$, rispetto alla metrica euclidea.
Suppongo per assurdo che $Eneemptyset$ e $EneRR^n$ contemporaneamente .
a)Se l'insieme $E$ è aperto allora risulta $E=E^circ$ cioè coincide con l'insieme dei punti interni.
b)Se l'insieme $E$ è chiuso allora risulta $\partialEsubseteqE$ cioè l'insieme $E$ contiene i suoi punti di frontiera
Quindi dalle precedenti osservazioni a), b) segue che $partialEsubseteqE^circ$.
Se $x$ è un punto di frontiera per $E$ allora in ogni suo intorno cadono sia punti di $E$ e sia punti del $CE$, quindi, $x$ non può essere interno a $E$ .
Potrebbe andare bene come dimostrazione
Hai dimostrato quindi che la frontiera è vuota, manca ancora qualche passaggio per la tesi.
Ciao, quindi ora ciò che $partialE=emptyset$. Intuitivamente ci sono, ho un insieme che non ha frontiera, quindi due possono i casi $emptyset$ oppure $RR^n$, questo però non riesco a dimostrarlo.
Un input
Un input
Si può fare in molto modi, probabilmente quello che preferisco è di dimostrare in generale che qualsiasi spazio $X$, dato un qualsiasi suo sottoinsieme $A$, è l'unione disgiunta della parte interna di $A$, della parte interna di $X\setminusA$ e della frontiera di $A$. Da questo si deduce facilmente.
Non ho capito scusami. Devo verificare \(\displaystyle \mathbb{R}^n=\mathring{E}\quad \dot{\cup}\quad\mathring{{\mathbb{R}}^n-{E}}\quad\dot{\cup}\quad\partial{E}\) ?
OT, naturalmente
Anche a me è sempre piaciuta questa "decomposizione", e ho la sensazione che sia solitamente poco messa in evidenza. Si tratta di associare a un qualunque sottoinsieme i sottoinsiemi topologicamente rilevanti.
"otta96":
...
qualsiasi spazio $X$, dato un qualsiasi suo sottoinsieme $A$, è l'unione disgiunta della parte interna di $A$, della parte interna di $X\setminusA$ e della frontiera di $A$
...
Anche a me è sempre piaciuta questa "decomposizione", e ho la sensazione che sia solitamente poco messa in evidenza. Si tratta di associare a un qualunque sottoinsieme i sottoinsiemi topologicamente rilevanti.
"compa90":
Non ho capito scusami. Devo verificare \(\displaystyle \mathbb{R}^n=\mathring{E}\quad \dot{\cup}\quad\mathring{{\mathbb{R}}^n-{E}}\quad\dot{\cup}\quad\partial{E}\) ?
Si esatto.
Scusate, ma questa \( \displaystyle \mathbb{R}^n=\mathring{E}\quad \dot{\cup}\quad\mathring{{\mathbb{R}}^n-{E}}\quad\dot{\cup}\quad\partial{E} \) è evidente segue dalla definizione, cioè se considero due insiemi $S,T$ si ha
\( \displaystyle S \dot{\cup}T := (S \cup T) - (S \cap T)\) poi dal fatto che l'unione disgiunta fra due insiemi, di cui uno è vuoto è l'insieme non vuoto, e infine per le proprietà di associatività e commutatività.
Va bene così?
Se si non vedo il collegamento con la tesi
\( \displaystyle S \dot{\cup}T := (S \cup T) - (S \cap T)\) poi dal fatto che l'unione disgiunta fra due insiemi, di cui uno è vuoto è l'insieme non vuoto, e infine per le proprietà di associatività e commutatività.
Va bene così?
Se si non vedo il collegamento con la tesi
No quella è la differenza simmetrica, con unione disgiunta intendo che quegli insiemi sono disgiunti e la loro unione fa tutto lo spazio.
Io conosco questa, tu dici questa $S,T, E$ insiemi, dove $S cap T = emptyset$ , $S cup T=E$
Si esatto.
Ciao, io non ho capito.
Scusami, hai detto che in generale si ha
Dunque, dovrei provare che
Cosi?
Scusami, hai detto che in generale si ha
"otta96":quindi, in tal caso si dovrebbe avere $X=RR^n$, $A=E$ e quindi $X\\A=RR^n\\E$.
Si può fare in molto modi, probabilmente quello che preferisco è di dimostrare in generale che qualsiasi spazio $ X $, dato un qualsiasi suo sottoinsieme $ A $, è l'unione disgiunta della parte interna di $ A $, della parte interna di $ X\setminusA $ e della frontiera di $ A $. Da questo si deduce facilmente.
Dunque, dovrei provare che
\(\displaystyle\mathbb{R}^n=\mathring{E} \dot{\cup}(\mathring{{\mathbb{R}}^n-{E}}) \)
dove \(\displaystyle \mathring{E} \cup(\mathring{{\mathbb{R}}^n-{E}})=\mathbb{R}^n,\qquad \mathring{E} \cap(\mathring{{\mathbb{R}}^n-{E}})=\emptyset \)
Cosi?
No, ci va anche la frontiera di $E$.
Quindi devo dimostrare che
Cosi va bene?
Se si, dunque, resta da provare l'uguaglianza. L'inclusione da destra verso sinistra è banale in quanto entrambi sono parti di $RR^n$.
Vado bene cosi?
\( \displaystyle \mathbb{R}^n=\mathring{E}\quad \dot{\cup}\quad\mathring{{\mathbb{R}}^n-{E}}\quad\dot{\cup}\quad\emptyset \)
dove \( \displaystyle \mathring{E} \cup(\mathring{{\mathbb{R}}^n-{E}})\cup\emptyset=\mathbb{R}^n,\qquad \mathring{E} \cap(\mathring{{\mathbb{R}}^n-{E}})\cap\emptyset=\emptyset \)
Cosi va bene?
Se si, dunque, resta da provare l'uguaglianza. L'inclusione da destra verso sinistra è banale in quanto entrambi sono parti di $RR^n$.
Vado bene cosi?
Sostituisci $\partialE$ a $\emptyset$ e va bene (tranne che a destra dell'uguaglianza con le intersezioni).
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