$RR-QQ$

[matematicoestinto]

Ciao...

E' tanto che non scrivo


Come posso dimostrare che l'insieme $RR-QQ$ è denso in $RR$, servendomi eventualmente del fatto che $QQ$ ha questa proprietà?


GRAZIE

[giuseppe87x]

Sia $z in RR - QQ$ e $x, y in QQ, y>x>0$ (ragionamento simile può essere fatto per $x$ e $y$ negativi). Per la proprietà Archimedea dell'insieme $RR$ esiste $n_(0)inNN$ t.c. $n_(0)(y-x)>z>0$ i.e. $0 Siano ora $x, yinRR-QQ, y>x>0$ e si consideri $z_(0)=(x+y)/2$; se $z_(0)inRR-QQ$ abbiamo la tesi, altrimenti si consideri $z_(1)=(z_(0)+y)/2$; se è irrazionale abbiamo la tesi altrimenti se è razionale sappiamo trovare per ipotesi un irrazionale compreso tra $z_(0)$ e $z_(1)$ e quindi tra $x$ e $y$.
La dimostrazione del caso in cui $x inQQ$ e $yinRR-QQ$ o viceversa è ora banale se ricondotta a quest'ultima.

[Kroldar]

Posto una dimostrazione alternativa...
L'insieme $RR\\QQ$ non è un chiuso di $RR$, in quanto il suo complementare, ovvero $QQ$, unione numerabile di punti isolati, non è un aperto secondo la topologia euclidea. Vogliamo determinare la chiusura dell'insieme $RR\\QQ$. Notiamo innanzitutto che sicuramente $RR$ è un chiuso contenente $RR\\QQ$; vogliamo ora dimostrare che $RR$ è anche il più piccolo chiuso a godere di suddetta proprietà. Effettivamente trovare un chiuso più piccolo di $RR$ che contenga $RR\\QQ$ vuol dire aggiungere un certo numero di punti di $QQ$ a $RR\\QQ$... Ma l'unione di una quantità finita o infinita numerabile di punti non è un aperto nella topologia euclidea, quindi il suo complementare non è un chiuso. Ne discende che per ottenere un chiuso bisogna aggiungere a $RR\\QQ$ tutti i punti di $QQ$. Ma allora la chiusura di $RR\\QQ$ è $RR$, dunque $RR\\QQ$ è denso in $RR$.