Rotore in coordinate intrinseche

[dbn-votailprof]

Salve a tutti. Il problema che vi pongo mi assilla da un po' e forse sarò troppo sintetico nella domanda perché spiegarlo per bene mi richiede un grande sforzo, ma sono sicuro che qualcuno di voi mi capirà al volo. Grazie

Consideriamo un campo cinetico piano $\vecv(x,y)={v_x(x,y);v_y(x,y)}$ regolare. Consideriamo ora una qualunque traiettoria e fissiamo su essa un sistema di coordinate intrinseche ${\hats, \hatn,\hatb}$ (versore tangente alla traiettoria, normale e binormale rispettivamente). In tale sistema di coordinate la velocità $vecv$ avrà solo componente tangente alla traiettoria, cioè: $vecv=v\hats$.
Domanda: perchè per esprimere il rotore del campo $vecv$ (che è palesemente ortogonale al piano $x,y$ ) in coordinate intrinseche viene considerato il determinante formale : $|(\hats, \hatn,\hatb),((del)/(dels),(del)/(deln),(del)/(delb)),(v_s,v_n,0)|$ ?????????

$v_n$ dovrebbe essere la componente della velocità nella direzione di $\hatn$?? ma tale componente per definizione di traiettoria è nulla, o no??

Potete anche indicarmi un libro o del materiale che parli di rotori, gradienti e divergenze in coordinate intrinseche? mai visto nulla di simile in analisi.
Grazie

[gugo82]

La cosa strana è che prendi un campo di \(\mathbb{R}^2\) e una curva di \(\mathbb{R}^3\)...

[dbn-votailprof]

Perché dici così?
Per la presenza del versore binormale?
Effettivamente la curva si sviluppa nel piano, il vettore binormale penso serva solo ad esprimere il rotore (ad esempio).