Rotore e divergenza (interpretazione)
Buongiorno, leggendo il libro di testo sull'elettromagnetismo mi accorgo che non mi è chiara la seguente frase:
L' analogia col campo elettrostatico ci dice immediatamente che la componente tangente di H è continua (perché ∇ x H = 0), quella normale discontinua (perché ∇ · H non è nullo)
Dove
-"x" indica che si è svolto il rotore di H
- "·" gradiente
Sto seguendo di pari passo il corso di analisi dove sono state introdotti questi operatori.
Tuttavia forse non comprendo appieno l'interpretazione "grafica", cioè non capisco perché un rotore nullo mi dica che la componente del vettore H è continua e identicamente deduco che la divergenza nulla indichi continuità della componente normale. E di contro perché se sono diverse da zero implicano discontinuità?
Mi piacerebbe capirlo e vi ringrazio per l'aiuto
L' analogia col campo elettrostatico ci dice immediatamente che la componente tangente di H è continua (perché ∇ x H = 0), quella normale discontinua (perché ∇ · H non è nullo)
Dove
-"x" indica che si è svolto il rotore di H
- "·" gradiente
Sto seguendo di pari passo il corso di analisi dove sono state introdotti questi operatori.
Tuttavia forse non comprendo appieno l'interpretazione "grafica", cioè non capisco perché un rotore nullo mi dica che la componente del vettore H è continua e identicamente deduco che la divergenza nulla indichi continuità della componente normale. E di contro perché se sono diverse da zero implicano discontinuità?
Mi piacerebbe capirlo e vi ringrazio per l'aiuto
Risposte
Prima di tutto un avviso importante: tieni conto che in analisi ancora non stai studiando queste cose a bassa regolarità, in fisica si. In analisi, una funzione discontinua non si può neanche differenziare, come fai a calcolare il rotore o la divergenza? Il segreto è l'uso della "delta di Dirac", una funzione generalizzata che in fisica si usa come fosse una funzione standard. In conclusione; non ti spaventare se ti sembra che analisi e fisica cozzino tra loro.
Detto questo, passiamo all'interpretazione grafica. La divergenza è un termine "sorgente"; se in una pallina piccola c'è divergenza, significa che lì dentro c'è carica elettrica (o massa per il campo gravitazionale). Se disegni il campo come tante freccette, la pallina avrà la forma di un Sole che spara freccette in tutte le direzioni. Il rotore è una sorgente di vorticosità; se in un tubicino c'è rotore, il campo avrà l'aspetto di una serie di freccette che vi orbitano attorno, tanto più lunghe (=campo di maggiore intensità) quanto più ti avvicini al tubo.
Qui stai studiando dei casi limite; se un campo ha divergenza ovunque nulla tranne che in un puntino dove essa è concentrata (delta di Dirac), allora il Sole di prima avrà l'aspetto di un puntino; e se la divergenza è distribuita su una superficie, allora il campo sarà uniforme dalle due parti della superficie con una discontinuità su di essa.
Stesso discorso per il rotore; un rotore concentrato su una superficie produce un campo "shearing", con tante freccette che vanno in una direzione tangente alla supeficie da una parte, e nella direzione uguale e contraria dall'altra parte.
È questa l'interpretazione grafica alla quale il tuo testo allude. Per capire bene queste cose il posto giusto non sono i manuali di analisi. A me piacque moltissimo un libretto di Schey, "Div, Grad, Curl and all of that", te lo consiglio. Anche Feynman ha varie perle sparse nelle sue lezioni di fisica;
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/
ma sono sparse qua e là e bisogna cercarle.
Detto questo, passiamo all'interpretazione grafica. La divergenza è un termine "sorgente"; se in una pallina piccola c'è divergenza, significa che lì dentro c'è carica elettrica (o massa per il campo gravitazionale). Se disegni il campo come tante freccette, la pallina avrà la forma di un Sole che spara freccette in tutte le direzioni. Il rotore è una sorgente di vorticosità; se in un tubicino c'è rotore, il campo avrà l'aspetto di una serie di freccette che vi orbitano attorno, tanto più lunghe (=campo di maggiore intensità) quanto più ti avvicini al tubo.
Qui stai studiando dei casi limite; se un campo ha divergenza ovunque nulla tranne che in un puntino dove essa è concentrata (delta di Dirac), allora il Sole di prima avrà l'aspetto di un puntino; e se la divergenza è distribuita su una superficie, allora il campo sarà uniforme dalle due parti della superficie con una discontinuità su di essa.
Stesso discorso per il rotore; un rotore concentrato su una superficie produce un campo "shearing", con tante freccette che vanno in una direzione tangente alla supeficie da una parte, e nella direzione uguale e contraria dall'altra parte.
È questa l'interpretazione grafica alla quale il tuo testo allude. Per capire bene queste cose il posto giusto non sono i manuali di analisi. A me piacque moltissimo un libretto di Schey, "Div, Grad, Curl and all of that", te lo consiglio. Anche Feynman ha varie perle sparse nelle sue lezioni di fisica;
http://www.feynmanlectures.caltech.edu/
ma sono sparse qua e là e bisogna cercarle.
Mi permetto solo di segnalare il corso del matematico Denis Auroux al MIT https://youtu.be/xrypSZU8cBE?list=PLFE93EBD8D7477354
E' indubbiamente molto bravo e inizia a parlare dei campi vettoriali (2D) dalla lezione 19 per poi estendere il tutto al 3D.
E' indubbiamente molto bravo e inizia a parlare dei campi vettoriali (2D) dalla lezione 19 per poi estendere il tutto al 3D.
Grazie mille, pensavo di non riuscire a cogliere il nesso tra le lezioni.
Però perché la discontinutà afferma essere solo nella componente normale e non tangente, cioè da cosa lo deduce
Mi rincuorate, ci dovrò ragionare su molto ma seguirò i vostri link
"dissonance":
allora il campo sarà uniforme dalle due parti della superficie con una discontinuità su di essa.
Però perché la discontinutà afferma essere solo nella componente normale e non tangente, cioè da cosa lo deduce
Mi rincuorate, ci dovrò ragionare su molto ma seguirò i vostri link
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