Rotore di un campo vettoriale a n-dimensioni
Salve,
qualcuno,gentilmente ,mi potrebbe dire se esiste il rotore di un campo vettoriale con n componenti ad esempio il rotore del campo vettoriale
$ A=(A_x,A_y,A_z,A_t) $
e se esiste qualcuno potrebbe spiegare come si calcola?
qualcuno,gentilmente ,mi potrebbe dire se esiste il rotore di un campo vettoriale con n componenti ad esempio il rotore del campo vettoriale
$ A=(A_x,A_y,A_z,A_t) $
e se esiste qualcuno potrebbe spiegare come si calcola?
Risposte
In realtà sì, esiste. Ma non si parla più di rotore. Si fa una analogia con le forme differenziali e si osserva cosa diventa il rotore (e in generale qualsiasi altro operatore differenziale) in più di 3 dimensioni.
Mi potresti fare un esempio,per favore?
Eh, non è una cosa semplice semplice. Dovresti conoscere un po' di cose di calcolo esterno e differenziale.
La domanda da cosa sorge? perché magari possiamo fare un discorso più sintetico.
La domanda da cosa sorge? perché magari possiamo fare un discorso più sintetico.
Il problema mi è sorto quando ho provato ad applicare le equazioni di maxwell allo spazio-tempo
Ah, ecco. Beh, in quel caso si usano un quadrioperatore che è definito così: $D=(\nabla,\partial_t)$ e che agisce separatamente sulle componenti. Per cui il concetto di rotore (nel senso spaziale) rimane invariato.
Grazie,credo di aver capito
Giusto per curiosita ho fatto altre ricerche per un rotore di un vettore con 4 componenti e ho trovato questa formula:
$ nablaxx F=(partial F_k)/(partialx_j)-(partial F_j)/(partialx_k) $ $ j,k=1,2,3,4 $
ho fatto un po di conti e mi viene un tensore del secondo ordine antisimmetrico:
$ | ( 0 , ((partialF_x)/(partialy)-(partialF_y)/(partialx)) , ((partialF_x)/(partialz)-(partialF_z)/(partialx)) , ((partialF_x)/(partialt)-(partialF_t)/(partialx)) ),( ((partialF_y)/(partialx)-(partialF_x)/(partialy)) , 0 , ( (partialF_y)/(partialz)-(partialF_z)/(partialy)) , ( (partialF_y)/(partialt)-(partialF_t)/(partialy)) ),( ((partialF_z)/(partialx)-(partialF_x)/(partialz)) , ( (partialF_z)/(partialy)-(partialF_y)/(partialz)) , 0 , ((partialF_z)/(partialt)-(partialF_t)/(partialz)) ),( ((partialF_t)/(partialx)-(partialF_x)/(partialt)) , ( (partialF_t)/(partialy)-(partialF_y)/(partialt)) , ( (partialF_t)/(partialz)-(partialF_z)/(partialt)) , 0 ) | $
Ora da questo tensore come faccio a ricavare il rotore del campo vettoriale?
p.s:la formula l'ho presa da qui:
http://www.treccani.it/enciclopedia/quadrirotore/
$ nablaxx F=(partial F_k)/(partialx_j)-(partial F_j)/(partialx_k) $ $ j,k=1,2,3,4 $
ho fatto un po di conti e mi viene un tensore del secondo ordine antisimmetrico:
$ | ( 0 , ((partialF_x)/(partialy)-(partialF_y)/(partialx)) , ((partialF_x)/(partialz)-(partialF_z)/(partialx)) , ((partialF_x)/(partialt)-(partialF_t)/(partialx)) ),( ((partialF_y)/(partialx)-(partialF_x)/(partialy)) , 0 , ( (partialF_y)/(partialz)-(partialF_z)/(partialy)) , ( (partialF_y)/(partialt)-(partialF_t)/(partialy)) ),( ((partialF_z)/(partialx)-(partialF_x)/(partialz)) , ( (partialF_z)/(partialy)-(partialF_y)/(partialz)) , 0 , ((partialF_z)/(partialt)-(partialF_t)/(partialz)) ),( ((partialF_t)/(partialx)-(partialF_x)/(partialt)) , ( (partialF_t)/(partialy)-(partialF_y)/(partialt)) , ( (partialF_t)/(partialz)-(partialF_z)/(partialt)) , 0 ) | $
Ora da questo tensore come faccio a ricavare il rotore del campo vettoriale?
p.s:la formula l'ho presa da qui:
http://www.treccani.it/enciclopedia/quadrirotore/
Elimina la quarta riga e la quarta colonna e considera i termini non nulli presenti.
Grazie,però perchè va eliminata la quarta riga e la quarta colonna?
Perché quelle, nella versione "fisica", corrisponderebbero alla funzione "temporale" e alle componenti con derivata temporale.
ah...giusto,grazie