Rotore di un campo vettoriale a n-dimensioni

mklplo751
Salve,
qualcuno,gentilmente ,mi potrebbe dire se esiste il rotore di un campo vettoriale con n componenti ad esempio il rotore del campo vettoriale
$ A=(A_x,A_y,A_z,A_t) $
e se esiste qualcuno potrebbe spiegare come si calcola?

Risposte
ciampax
In realtà sì, esiste. Ma non si parla più di rotore. Si fa una analogia con le forme differenziali e si osserva cosa diventa il rotore (e in generale qualsiasi altro operatore differenziale) in più di 3 dimensioni.

mklplo751
Mi potresti fare un esempio,per favore?

ciampax
Eh, non è una cosa semplice semplice. Dovresti conoscere un po' di cose di calcolo esterno e differenziale.
La domanda da cosa sorge? perché magari possiamo fare un discorso più sintetico.

mklplo751
Il problema mi è sorto quando ho provato ad applicare le equazioni di maxwell allo spazio-tempo

ciampax
Ah, ecco. Beh, in quel caso si usano un quadrioperatore che è definito così: $D=(\nabla,\partial_t)$ e che agisce separatamente sulle componenti. Per cui il concetto di rotore (nel senso spaziale) rimane invariato.

mklplo751
Grazie,credo di aver capito

mklplo751
Giusto per curiosita ho fatto altre ricerche per un rotore di un vettore con 4 componenti e ho trovato questa formula:
$ nablaxx F=(partial F_k)/(partialx_j)-(partial F_j)/(partialx_k) $ $ j,k=1,2,3,4 $
ho fatto un po di conti e mi viene un tensore del secondo ordine antisimmetrico:

$ | ( 0 , ((partialF_x)/(partialy)-(partialF_y)/(partialx)) , ((partialF_x)/(partialz)-(partialF_z)/(partialx)) , ((partialF_x)/(partialt)-(partialF_t)/(partialx)) ),( ((partialF_y)/(partialx)-(partialF_x)/(partialy)) , 0 , ( (partialF_y)/(partialz)-(partialF_z)/(partialy)) , ( (partialF_y)/(partialt)-(partialF_t)/(partialy)) ),( ((partialF_z)/(partialx)-(partialF_x)/(partialz)) , ( (partialF_z)/(partialy)-(partialF_y)/(partialz)) , 0 , ((partialF_z)/(partialt)-(partialF_t)/(partialz)) ),( ((partialF_t)/(partialx)-(partialF_x)/(partialt)) , ( (partialF_t)/(partialy)-(partialF_y)/(partialt)) , ( (partialF_t)/(partialz)-(partialF_z)/(partialt)) , 0 ) | $

Ora da questo tensore come faccio a ricavare il rotore del campo vettoriale?
p.s:la formula l'ho presa da qui:
http://www.treccani.it/enciclopedia/quadrirotore/

ciampax
Elimina la quarta riga e la quarta colonna e considera i termini non nulli presenti.

mklplo751
Grazie,però perchè va eliminata la quarta riga e la quarta colonna?

ciampax
Perché quelle, nella versione "fisica", corrisponderebbero alla funzione "temporale" e alle componenti con derivata temporale.

mklplo751
ah...giusto,grazie

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