$root(3)(1)$ nei complessi per eq. differenziale
Salve ragazzi, mi trovo a risolvere la seguente eq. differenziale (sono le prime che faccio). Mi spiegeherò nel modo più chiaro possibile spero qualcuno mi dia una mano.
$y^4 - y^1=0$
Trovo dunque $lambda=0$ e $lambda=root(3)(1)$
bene come faccio a trovare le soluzioni di $lambda=root(3)(1)$ che ho visto dovrebbero essere:
$cos(2pi/3) +- i sin(2pi/3) = -1/2 +- root(2)(3)/2$ ???
Io so che $root(n)(z)=root(n)(rho)(cos (theta + 2pik/n) + i sin(theta+2pik/n)$
ove $rho=root(2)(a^2+b^2)$ e $theta$ lo trovo risolvendo ${cos(theta)=a/rho, sin(theta)=b/rho$
Motivo per cui se mi capita di risolvere $root(4)(-1)$ la so risolvere perchè lo vedo come $root(2)(i)$ e quindi ho il mio $z$ ma con la radice cubica non so che fare....
Spero qualcuno mi possa aiutare perchè sono proprio disperato.
Grazie in anticipo a tutti!
$y^4 - y^1=0$
Trovo dunque $lambda=0$ e $lambda=root(3)(1)$
bene come faccio a trovare le soluzioni di $lambda=root(3)(1)$ che ho visto dovrebbero essere:
$cos(2pi/3) +- i sin(2pi/3) = -1/2 +- root(2)(3)/2$ ???
Io so che $root(n)(z)=root(n)(rho)(cos (theta + 2pik/n) + i sin(theta+2pik/n)$
ove $rho=root(2)(a^2+b^2)$ e $theta$ lo trovo risolvendo ${cos(theta)=a/rho, sin(theta)=b/rho$
Motivo per cui se mi capita di risolvere $root(4)(-1)$ la so risolvere perchè lo vedo come $root(2)(i)$ e quindi ho il mio $z$ ma con la radice cubica non so che fare....
Spero qualcuno mi possa aiutare perchè sono proprio disperato.
Grazie in anticipo a tutti!
Risposte
Sai risolvere quella potenza se hai la sola unità immaginaria e non riesci a risolverla con solo quella reale? Dai....hai scritto tutto tu, devi solo sostituire i numeri 
benvenuto/a nel forum.
ci sono diversi modi per affrontare l'argomento.
prima di passare a forme standard e a de Moivre, ti vorrei invitare a risolvere l'equazione $x^3-1=0$ mediante la scomposizione come differenza di cubi e applicazione della legge di annullamento del prodotto. così troveresti la soluzione reale da un'equazione di primo grado, e le due soluzioni complesse coniugate da un'equazione di secondo grado. in generale, comunque, le radici $n$-esime di un numero hanno tutte lo stesso modulo e, nel piano complesso, sono poste ai vertici di un poligono regolare di $n$ lati. nel tuo caso $n=3$, dunque hai un triangolo equilatero di cui un vertice è sull'asse reale...
spero sia chiaro. ciao.
ci sono diversi modi per affrontare l'argomento.
prima di passare a forme standard e a de Moivre, ti vorrei invitare a risolvere l'equazione $x^3-1=0$ mediante la scomposizione come differenza di cubi e applicazione della legge di annullamento del prodotto. così troveresti la soluzione reale da un'equazione di primo grado, e le due soluzioni complesse coniugate da un'equazione di secondo grado. in generale, comunque, le radici $n$-esime di un numero hanno tutte lo stesso modulo e, nel piano complesso, sono poste ai vertici di un poligono regolare di $n$ lati. nel tuo caso $n=3$, dunque hai un triangolo equilatero di cui un vertice è sull'asse reale...
spero sia chiaro. ciao.
"adaBTTLS":
benvenuto/a nel forum.
ci sono diversi modi per affrontare l'argomento.
prima di passare a forme standard e a de Moivre, ti vorrei invitare a risolvere l'equazione $x^3-1=0$ mediante la scomposizione come differenza di cubi e applicazione della legge di annullamento del prodotto. così troveresti la soluzione reale da un'equazione di primo grado, e le due soluzioni complesse coniugate da un'equazione di secondo grado. in generale, comunque, le radici $n$-esime di un numero hanno tutte lo stesso modulo e, nel piano complesso, sono poste ai vertici di un poligono regolare di $n$ lati. nel tuo caso $n=3$, dunque hai un triangolo equilatero di cui un vertice è sull'asse reale...
spero sia chiaro. ciao.
Grazie anzitutto per la riposta :=
Benvenuto cmq
Si ho capito cosa intendi; dici di risolvere il polinomio $(lambda-1)(lambda^2+lambda+1)$ eguagliando i due membri a zero?
Così facendo otterrei $lambda=1$ e $-1/2+-i root(2)(3)/2$ che è proprio quello che otterrei nell'altro metodo, giusto?
Su questo credo di esserci, (giusto?) quello che mi crea fastidio è l'altro metodo che vorrei imparare.. perchè oggi mi è capitato una differenza di cubi, domani potrebbe capitarmi un polinomio di difficile scomposizione e avrei comunque dove appoggiarmi..
"K.Lomax":
Sai risolvere quella potenza se hai la sola unità immaginaria e non riesci a risolverla con solo quella reale? Dai....hai scritto tutto tu, devi solo sostituire i numeri
Hai ragione, sapendo fare quello dovrei sapere fare anche questo.. ci ho ragionato un pò e sono arrivato alla conclusione di non sapere fare nemmeno quello che prima avevo detto sapere fare.
Ciò che credo mi venga più difficile è trovare il mio numero complesso z.
Potreste darmi una mano?
Il tuo numero complesso è $z=1+i0$. Di conseguenza $a=1$, $b=0$ e quindi puoi calcolare $\rho$ e $\theta$ dalle formule che hai riportato nel post iniziale.
"K.Lomax":
Il tuo numero complesso è $z=1+i0$. Di conseguenza $a=1$, $b=0$ e quindi puoi calcolare $\rho$ e $\theta$ dalle formule che hai riportato nel post iniziale.
Ti ringrazio!!
Scusa se sono un pò "tardo" ma potresti spiegarmi qual'è il ragionamento che ti porta a dire questo partendo dalla sola informazione $root(3)(1)$ ?
$root(n)(z)=$.......
quindi per te $z=1$ ed $n=3$.
quindi per te $z=1$ ed $n=3$.
"K.Lomax":
$root(n)(z)=$.......
quindi per te $z=1$ ed $n=3$.
Ovvio
!!Ti ringrazio moltissimo!! Anzi vi ringrazio!
Complimenti per il forum, utile, ma soprattutto pieno di gente molto preparata (ho letto vari post)..
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