Rolle su tutto R?

[tecnoworld]

Buongiorno, ho una domanda probabilmente banale, ma non trovo da nessuna parte un riferimento che possa costituire una risposta a questo mio dubbio.

Esiste un teorema che dice: sia f una funzione continua e derivabile su tutto R. Se lim x-> +- infinito è = a + infinito, allora la funzione è limitata inferiormente (quindi esiste m). Se lim x-> +- infinito = a - infinito, allora la funzione è limitata superiormente (quindi esiste M).

Mi pare qualcosa di assolutamente ovvio, ma mi pare strano non esista un teorema. E' credo in qualche modo collegato con Weierstrass o Rolle, ma...ha ipotesi diverse.

Grazie.

[Weierstress]

Non si capisce tanto quello che intendi. Dici che se un funzione derivabile su $RR$ ha limite infinito agli estremi, e.g. \[\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty} f(x)=+\infty\] allora la funzione è limitata inferiormente? Be' sicuramente essendo continua non avrà asintoti verticali a \(\displaystyle -\infty \), non c'è bisogno di scomodare chissà quale teorema per affermarlo.

[tecnoworld]

Grazie, ma non ho ben compreso la deduzione automatica. Il fatto che sia limitato inferiormente implica per esempio che abbia un minimo assoluto. Anche questo è implicito? Dopotutto mi pare lo stesso livello di ovvietà di teoremi quali rolle, esistenza zeri o valori intermedi... Ma questi si studiano eccome!

[anonymous_0b37e9]

"tecnoworld":
... sia f una funzione continua e derivabile ...

Non è necessario che la funzione sia derivabile.

"tecnoworld":
... mi pare lo stesso livello di ovvietà di teoremi quali ...

Se vuoi formalizzarlo, puoi procedere mediante una delle definizioni di limite e il teorema di Weierstrass.

Ipotesi

$f : RR rarr RR$ continua

$lim_(x->+-oo)f(x)=+oo$

Tesi

$EE barx in RR : min[f(x),RR]=f(barx)$

Dimostrazione

$[lim_(x->+-oo)f(x)=+oo] rarr [AA M in RR EE x_M in RR^+ : |x| gt x_M rarr f(x) gt M]$

Per il teorema di Weierstrass:

$EE barx in RR : |barx| lt= x_M ^^ min[f(x),|x| lt= x_M]=f(barx)$

Infine (è sufficiente prendere $M gt f(barx)$ nella definizione di limite):

$M gt f(barx) rarr min[f(x),RR]=f(barx)$

[dissonance]

"Weierstress":Non si capisce tanto quello che intendi. Dici che se un funzione derivabile su $RR$ ha limite infinito agli estremi, e.g. \[\displaystyle \lim_{x\rightarrow \pm\infty} f(x)=+\infty\] allora la funzione è limitata inferiormente? Be' sicuramente essendo continua non avrà asintoti verticali a \(\displaystyle -\infty \), non c'è bisogno di scomodare chissà quale teorema per affermarlo.

Sono d'accordo con tecnoworld che non è proprio ovvio, va formalizzato ed è quello che ha fatto Sergeant Elias. (Se questo fosse ovvio allora sarebbe ovvio anche che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ha minimo).

Si tratta tra l'altro di una idea molto importante che si usa nel calcolo delle variazioni.

[dissonance]

@tecnoworld: Per favore, scrivi le [formule][/formule] seguendo le istruzioni, i tuoi post saranno molto più leggibili. Grazie

[Weierstress]

Sergeant Elias,

[ot]Colgo l'occasione per esprimere quanto apprezzi l'estetica dei tuoi post. Quest'ultimo sembra un bell' alberello di Natale [/ot]

[Weierstress]

Dissonance, hai ragione... è che ogni tanto dimentico il posto che mi compete da fisico

[anonymous_0b37e9]

@ Weierstress

[ot]Grazie per l'apprezzamento. [/ot]